在上篇文章里，我們講了什么是基數(shù)和序數(shù)。大于等于ω的序數(shù)被稱為超限序數(shù)。超限序數(shù)中還有一種特殊的極限序數(shù)，它們可以寫成一串序數(shù)按照相同規(guī)律取到無窮時的極限。比如ω就是{1，2，3，4……}的極限，ω×2就是{ω，ω+1，ω+2，ω+3……}的極限，ω2就是{ω，ω×2，ω×3……}的極限，ω^ω就是{ω，ω2，ω3……}的極限，ε?就是{ω，ω^ω，ω^ω^ω……}的極限。像ω+1，ω+2這種不能寫成極限形式的就不是極限序數(shù)。括號里面的那一串序數(shù)就是對應(yīng)的極限序數(shù)的基本列。 前面我們說過，超限序數(shù)的運算是不滿足交換律的，也就是說2×ω≠ω×2。我們可以從基本列的角度來看看這是為什么，2×ω的基本列是{2，4，6，8……}，也就是說2×ω是偶數(shù)列的極限。顯然偶數(shù)列的極限和自然數(shù)列的極限都應(yīng)該是ω，所以2×ω=ω≠ω×2?；玖惺俏覀兎治鲂驍?shù)的一個重要的工具，能寫出一個極限序數(shù)的基本列才算理解了這個序數(shù)的結(jié)構(gòu)。 為了研究那些大到無法用科學計數(shù)法表示的大數(shù)，我們需要一個強有力的新工具?？焖僭鲩L層級(FGH)就是這樣的一種東西，它用序數(shù)去描述那些大數(shù)函數(shù)的增長率。其實除了FGH之外，還有慢速增長層級(SGH)，中速增長層級(MGH)，哈代(HH)，感興趣的可以自行了解，我這里就不多贅訴了。它們都是用序數(shù)去描述函數(shù)增長快慢，其中FGH下增長率每增加1，對函數(shù)的增長率提升是最大的。FGH的規(guī)則是這樣的： f?(n)=n+1 f?α+1(n)=f?α(f?α(f?…(f?α(n)…)))，套娃n層。 其中函數(shù)下標代表著該函數(shù)的FGH增長率，也就是說f(n)=n+1的FGH增長率為0。再看一下第二條規(guī)則，可以試想一下增長率為1的函數(shù)是什么樣的。容易發(fā)現(xiàn)，當我們把f?(n)=n+1套娃自己層后就得到了f?(n)=n+n=2×n，這個函數(shù)的FGH增長率就是1了。繼續(xù)把f?(n)套娃自己n層，我們會得到f?(n)=(2^n)×n，它的FGH增長率為2。再次把f?(n)套娃自己n層，我們就得到了f?(n)，它的FGH增長率為3。 好了，我們發(fā)現(xiàn)了加法的增長率為0，乘法運算的增長率為1，乘方運算的增長率為2，重冪運算的增長率為3，把重冪繼續(xù)套娃就能得到增長率為4的函數(shù)，隨著運算等級的增加，F(xiàn)GH增長率也會不斷增加。那么現(xiàn)在問題來了，如果有一個函數(shù)F(n)=n[n]n，即兩個n之間進行n級運算(關(guān)于運算等級的擴展，我下期具體講一下高德納箭頭和超運算)，那么這個F(n)的增長率是多少？根據(jù)前面的規(guī)律，幾級運算增長率就是幾減一，可是現(xiàn)在的問題是運算等級也變成了自變量。運算等級作為自變量(定義域為所有自然數(shù))，就意味著它可以取到任意大。所以為了衡量這個可以比任意自然數(shù)都大的增長率，我們很自然的就想到了之前講過的超限序數(shù)ω。F(n)的FGH增長率就是ω。 現(xiàn)在，我們把F(n)再套娃自己n層，得到 F?(n)。很明顯對于同樣的n來說，必然有F?(n)≥F(n)。所以F?(n)的增長率必然要大于F(n)的ω，而根據(jù)上面FGH的第二條，可以發(fā)現(xiàn)F?(n)的增長率為ω+1。這也從側(cè)面證明了ω+1確實是一個比ω更大的序數(shù)。