滑?？刂频幕驹?/h1>
滑?？刂频幕靖拍?/span>
首先對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，假設(shè)它可以用如下形式表示：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
則在系統(tǒng)的狀態(tài)空間存在一個(gè)超曲面，它的表達(dá)式如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
假設(shè)上述超曲面可以用下面的一條曲線表示
則可以發(fā)現(xiàn)滑模面將狀態(tài)空間分為兩個(gè)部分：s>0和s<0，則在面上的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)可以分為三類：
A點(diǎn)：穿越點(diǎn)，它表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到滑模面s=0的時(shí)候并不停留而是直接穿越過(guò)去，這時(shí)候系統(tǒng)在A點(diǎn)附近時(shí)會(huì)滿足下面的關(guān)系：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B點(diǎn)：起點(diǎn)，它表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到滑模面s=0的時(shí)候會(huì)從其兩邊離開，這時(shí)候系統(tǒng)在B點(diǎn)附近時(shí)會(huì)滿足下面的關(guān)系：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?
C點(diǎn)：終點(diǎn)，它表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到滑模面s=0的時(shí)候會(huì)從停留在滑模面上，這時(shí)候系統(tǒng)在C點(diǎn)附近時(shí)會(huì)滿足下面的關(guān)系：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
由上面可以發(fā)現(xiàn)，滑?？刂菩枰紫茸屜到y(tǒng)抵到我們?cè)O(shè)計(jì)的滑模面，才能進(jìn)行滑?？刂疲？刂苿t使得系統(tǒng)不斷在滑模面附近穿梭，可以用下圖形象表示
2.滑?？刂频睦?/span>
考慮一個(gè)二階系統(tǒng)，它的狀態(tài)方程可以表示如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
假設(shè)控制目標(biāo)是使得和
趨于零，而
的狀態(tài)是能夠采集得到的。則由反饋控制的知識(shí)我們知道，我們需要設(shè)計(jì)
使得系統(tǒng)穩(wěn)定。
當(dāng)我們?nèi)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=k%3D4" alt="k%3D4">時(shí)，上式可以化簡(jiǎn)為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??
此時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)根，且實(shí)部為正，此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，它的相軌跡圖如下
同理我們?nèi)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=k%3D4" alt="k%3D4">時(shí)，上式可以化簡(jiǎn)為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
此時(shí)系統(tǒng)的微分方程有3和-1兩個(gè)根，系統(tǒng)仍不會(huì)穩(wěn)定，相應(yīng)的相軌跡圖如下;
可以發(fā)現(xiàn)無(wú)論k取-4還是4都無(wú)法使得系統(tǒng)穩(wěn)定，此時(shí)若定義直線方程:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??
并按照下面方式取k值：
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
則相軌跡會(huì)變成
通過(guò)這種改變控制結(jié)構(gòu)的方法最終使得系統(tǒng)能夠一直在s平面上運(yùn)動(dòng)的控制方法就是滑模變結(jié)構(gòu)控制，由構(gòu)建的s平面可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)系統(tǒng)的特征根為-1應(yīng)該系統(tǒng)能夠區(qū)域穩(wěn)定。
3.滑?？刂频脑O(shè)計(jì)方法
滑?？刂频脑O(shè)計(jì)可以簡(jiǎn)單概括為兩步：
第一步：設(shè)計(jì)滑模面，保證系統(tǒng)存在滑模面。
第二步：選擇適合的趨近律，使得系統(tǒng)能夠在滑模面上做滑模運(yùn)動(dòng)。
為了闡述上面的步驟，我們舉一個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明，假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
首先設(shè)計(jì)滑模面，由Hurwitz穩(wěn)定性，可以把s平面設(shè)計(jì)為：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
此時(shí)多項(xiàng)式具有兩個(gè)相同的特征根-2。保證了系統(tǒng)存在滑模面。
接著為了分析系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到s=0的滑模面，此時(shí)需要采用李雅普諾夫方法進(jìn)行分析。通常李雅普諾夫函數(shù)可以設(shè)計(jì)為：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
對(duì)上式求導(dǎo)可得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
由李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)可知要求其導(dǎo)數(shù)為負(fù)定，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
在實(shí)際控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，考慮到不能每次控制輸出都要進(jìn)行一次李雅普諾夫判據(jù)，因此通常采用引入趨近律的方式，常見的趨近律有：
1、等速趨近律：，其中sgn(s)是符號(hào)函數(shù)，它的結(jié)構(gòu)如下圖所示
2、指數(shù)趨近律：。
接著上面的分析對(duì)s函數(shù)求導(dǎo)有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
將狀態(tài)方程帶入上式有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
以指數(shù)趨近律為例進(jìn)行設(shè)計(jì)，則u可以設(shè)計(jì)為
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
將u帶入到設(shè)計(jì)的李雅普諾夫函數(shù)并求導(dǎo)可得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
此時(shí)上式是負(fù)定的，因此系統(tǒng)會(huì)漸進(jìn)趨于穩(wěn)定，則s會(huì)趨近于0，此時(shí)達(dá)到穩(wěn)定控制的設(shè)計(jì)。
為了驗(yàn)證上述控制器設(shè)計(jì)，在Simulink環(huán)節(jié)下搭建控制器，仿真結(jié)果如下
