本文主要討論半導(dǎo)體基本方程中的泊松方程。

半導(dǎo)體物理的三大基本方程是后續(xù)分析PN結(jié)、BJT、MOSFET的基礎(chǔ)，其重要性來自其物理意義。

在微電子器件中，泊松方程的表達(dá)形式為：

該式從物理量上分析可以看到，其聯(lián)系了電場(chǎng)與電荷，左邊是對(duì)電場(chǎng)進(jìn)行求導(dǎo)，右邊是單位體積內(nèi)的總粒子個(gè)數(shù)乘上一個(gè)系數(shù) ?。然后呢？似乎物理圖像在腦海里不是非常明顯：因?yàn)榍髮?dǎo)符號(hào)的存在?，F(xiàn)在我們從泊松方程出發(fā)，進(jìn)一步分析。

在電磁學(xué)理論中，泊松方程的表達(dá)式為：

其中， 代表電勢(shì)， 代表單位體積內(nèi)的總電荷，對(duì)應(yīng)我們研究的摻雜硅，我們進(jìn)一步得到：

故：

似乎研究與我們的式子很像了，我們進(jìn)一步研究。

由電磁場(chǎng)理論有：

代入上式，可以得到：

當(dāng)我們只考慮一維情況時(shí)，該式左側(cè)的散度運(yùn)算可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

至此，最初的泊松方程推導(dǎo)完畢。

回顧整個(gè)推導(dǎo)過程，我們能夠發(fā)現(xiàn)，對(duì)電場(chǎng)的一階導(dǎo)來自對(duì)電場(chǎng)求散度后的一維情況簡(jiǎn)化，但這似乎也沒有給我們足夠的物理圖像，我們進(jìn)一步分析。

相比較于 來說，對(duì)電場(chǎng)求散度的物理意義更加明顯：電場(chǎng)的散度即反映的單位體積內(nèi)的凈電荷量，我們從此進(jìn)一步分析。

既然要反映電場(chǎng)散度與電荷量的關(guān)系，我們可以有更好的選擇：

沒有系數(shù)、一對(duì)一的映射使得電通量密度（D）的引入對(duì)于分析物理意義具有絕佳的表示。（我沒有記錯(cuò)的話，國(guó)內(nèi)教材叫做電位移矢量，但我更喜歡稱之為電通量密度，因?yàn)槠鋯挝粸? ，這難道不是密度的單位嗎？）

該式的物理意義是：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)，對(duì)電通量密度求散度，結(jié)果為單位體積內(nèi)的電荷量，換句話說，電通量密度的源是電荷。我們可以考慮以下物理圖像：

編輯切換為全寬

其中矢量線我們可以看成是D，D和E在線性各向同性介質(zhì)中的關(guān)系：

所以我們的推導(dǎo)過程可以變成這樣：

我們?cè)倏纯床此煞匠蹋河疫叺谝豁?xiàng)q來自電荷量，介電常數(shù)來自電通量密度與電場(chǎng)的映射關(guān)系，從直觀來看，該式反映的就是一句話：電場(chǎng)（or電通量密度，兩者從某種角度上可以理解為反映著同一種東西）的源是電荷，如果是記公式的話，就記?。翰此煞匠瘫硎镜氖?，單位體積內(nèi)對(duì)電通量密度（電位移）求散度，結(jié)果為體積內(nèi)的電荷。（你能根據(jù)這句話寫出泊松方程嗎？）

除了上面從電磁學(xué)理論出發(fā)的分析，該式從數(shù)學(xué)上也可以看成：電場(chǎng)與位置的函數(shù)關(guān)系，通過解泊松方程，便可以得到隨著位置變化時(shí)，電場(chǎng)、電勢(shì)的變化情況。這對(duì)后面分析器件的電勢(shì)電場(chǎng)分布非常有用。

到這里再舉幾個(gè)簡(jiǎn)化泊松方程求解的例子。

第一個(gè)簡(jiǎn)化是前面提到的，一維化。

一維化對(duì)應(yīng)于我們研究PN結(jié)與BJT，我們假設(shè)y方向摻雜濃度是一樣的，x方向允許有所變化，根據(jù)具體情況而定。這可以極大簡(jiǎn)化我們的求解過程，畢竟多一個(gè)維度、圖像就需要用三維坐標(biāo)系來表示了，難度大了，意義卻不大（手算）。

第二個(gè)簡(jiǎn)化是對(duì)PN結(jié)耗盡區(qū)的假設(shè)，即耗盡近似。

泊松方程可以簡(jiǎn)化為：

該簡(jiǎn)化用于研究耗盡區(qū)內(nèi)電場(chǎng)分布，極易求解。

如果有時(shí)間的話，后面補(bǔ)齊另外兩個(gè)基本方程的簡(jiǎn)單分析。

參考：

1.陳星弼，陳勇，劉繼芝，任敏編著. 微電子器件[M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2018.07.

2.（美）威廉姆·H.哈特，（美）約翰·A.巴克著. 工程電磁場(chǎng) 第9版[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2019.07.