啊，標題暴露了全部內(nèi)容?？蓯?。

我自己給我自己省流了

1.科赫雪花是啥子?xùn)|東？

既然如此咱也不用藏著掖著了。

第一個部分，如果你去某百科上搜索你會得到答案。

很簡單的一個東西但暗藏了不少玄只因機。

要得到科赫雪花首先你要有一個等邊三角形。

然后不斷地施加無數(shù)次科赫變換即：

在原來圖形的基礎(chǔ)上，選取每一邊的三等分段中間的那一段，以它為邊作等邊三角形。

當然，我們只要變換后最外延的曲線。

其實你看百科配的圖就知道了。

各個圖的黑線就是科赫雪花（或者也稱為科赫曲線）的低階近似曲線。

（理論上你要進行無數(shù)次科赫變換得到的圖形才叫科赫雪花，但我們實際只能畫出進行了有限次變換的曲線）

而科赫雪花有一個很重要的特質(zhì)。

你取科赫雪花的某一部分，你會發(fā)現(xiàn)它和整體相似。

這種性質(zhì)我們稱為自相似。

而某百科會告訴你，這樣的曲線就是分形曲線。

不過。。。

啊哈，還好問題不大。

反正說到底就是個名字而已。

2.科赫雪花的周長

我們的正題是科赫雪花的周長和面積是多少。

先來求比較簡單的周長。

因為圖形上各個邊的邊長都是相等的，

因此每一個低階近似曲線的周長cn=邊長an×邊數(shù)bn

而我們每一步邊長都是前一步的三分之一，因此

而bn，你可以好好數(shù)數(shù)，每次都是前一次的四倍，因此

所以

顯然，cn是一個等比數(shù)列。我們假設(shè)原來的等邊三角形的周長是c0則、

那么現(xiàn)在我們令n→+∞就是科赫雪花的周長C了。

顯然，C發(fā)散于+∞。

也就是所謂的周長是正無窮大（或者你也可以認為不存在）。

3.科赫雪花的面積

下面的面積才是比較棘手的。

面積的觀察點一般不容易想到。

看看前面的圖1,2,3,4其實觀察點已經(jīng)標在上面了。

就是每一塊綠色線和黑色線包圍的小等邊三角形。

它們的面積都是它們附著在的三角形是九分之一。（所有等邊三角形也是相似的，面積與邊長的平方成正比，而每次邊長都是原來的三分之一）

而一個新生成的三角形下一輪又會在他們的邊上生成2個三角形。與此同時，又有等量的同樣大小的舊三角形會在下一輪生成同樣的2個三角形。

因此每次增加的三角形是個數(shù)是前一輪是4倍。

綜合一下，每次增加的面積都是前一次的九分之四。

因此有

因此Sn-Sn-1又是等比數(shù)列了。

這樣的話

啊哈，S1-S0不是賊容易？1/3S0啊。

不過下面拖著個S0式子有點難看，我就直接假設(shè)S0=1了。（你要求別的科赫雪花的面積直接利用各個科赫雪花相似，面積正比于邊長的平方就可以了）

因此

加下來只要用累加法就能求出Sn了。

（累加法是需要檢驗首項的，但這里沒必要，因為我們只需要n充分大的情況。也就是說前面的有限項不用在乎他是多少。不過你仍然可以檢驗就是了）

算出來，，顯然Sn收斂于五分之八。

因此科赫雪花的面積是有限的。

額，你如果去搜索科赫雪花的面積的話你會得到

(a為初始等邊三角形的邊長），實際上這和我得到的結(jié)論是一樣的。

因為我算的是時的特殊情況。

4.科赫雪花的繪制

利用python語言自帶的turtle作圖模塊我們可以很輕松的繪制出科赫雪花的樣子。

先拋出代碼，如果你不想聽這個代碼是怎么寫的那么直接拿去用就可以了。

import turtle


def koch(length, level):
 ? ?if level == 0:
 ? ? ? ?turtle.fd(length)
 ? ?else:
 ? ? ? ?for angle in [0, 60, -120, 60]:
 ? ? ? ? ? ?turtle.left(angle)
 ? ? ? ? ? ?koch(length / 3, level - 1)


turtle.setup(800, 800)
turtle.penup()
turtle.goto(-250, 100)
turtle.pendown()
turtle.pensize(1) ?# 調(diào)整畫筆粗細
turtle.pencolor("blue") ?# 調(diào)整畫筆顏色
n = turtle.numinput("by名浮半生", "你要畫幾層的科赫雪花？") ?# n為階數(shù)
size = 500 ?# 默認科赫雪花的大小為500
koch(size, n)
turtle.right(120)
koch(size, n)
turtle.right(120)
koch(size, n)
turtle.hideturtle()
turtle.done()

這個就是用這個程序跑出來的一個三階近似曲線了

下面是思路的介紹。

總的思路和前面計算周長面積是一樣的。

在周長和面積的計算中我們先得到的遞推公式再得到的通項公式。

那么在這里我們也是用的類似的想法，或者說得更專業(yè)一點就是遞歸算法。

代碼的核心就是koch（）函數(shù)。

n層曲線上的每一邊都是n-1層曲線，這就是我們找到的“遞推公式”

而第0層只需要畫一條直線就可以了。

因此當層數(shù)＞0的時候，我們先畫出它的4邊，當然4條邊雖然圖形一樣但需要旋轉(zhuǎn)（這就是函數(shù)里的for循環(huán)和列表的用意了）

當n=0時只需要畫一條直線就行了。

這樣當你想畫n層的時候程序會發(fā)現(xiàn)，先畫n-1層，再畫n-2層.......一直到要畫1層就要畫0層，然后0層它就會畫了。

這里程序的思路和我們前面有些不同。

程序的思路相當于是要算an，先算an-1，......要算a1先算a0，然后a0已知。

我再倒回去，算a1是多少，a2是多少,......,最終得到an是多少。

至于下面的部分都是一些細節(jié)的設(shè)置和補充了。

然后還有一點就是，如果你真的用這個程序跑了一遍會發(fā)現(xiàn)畫得有點慢。

這個很正常。因為遞歸算法本身的就是一種效率比較低(時間復(fù)雜度高）的算法。

我們還有很多對遞歸再進行優(yōu)化的算法例如動態(tài)規(guī)劃(dp）算法，不過我不想多說，因為后面再說下去的話咱就變編程和算法專欄咧。(悲）