初中時(shí)我曾在《重難點(diǎn)手冊》上看到了一個(gè)證明“所有的三角形都是等邊三角形”，看完后我震驚了好久沒能找到破綻，直到自己動(dòng)手作圖嘗試了一下（當(dāng)年書上沒有提供答案）。

在此不得不感慨，紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。

這道題目是這樣的：

根據(jù)示意圖，對于一個(gè)任意三角形?△ABC，通過其一個(gè)頂點(diǎn)A做∠BAC?的角平分線AO，它與邊BC的中垂線相交于點(diǎn)O，而且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)。下面開始證明AB=AC

為了證明AB=AC，我們需要一些輔助線。連接OB以及OC，并且通過O點(diǎn)做AB和AC的垂線，分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F。如下圖所示：

我們先來證明?△OAE?∠OAF?（三角形OAE和三角形OAF全等）

由于AO是角平分線，所以?∠OAE=∠OAF

這兩個(gè)三角形共用AO這條邊

這兩個(gè)三角形都是直角三角形（?OE⊥AB?，?OF⊥AC?）

所以我們可以得出?△OAE?∠OAF?（確實(shí)全等）

那么就有 AE=AF

下面我們來證明?△OEB?∠OFC?（三角形OEB和三角形OFC全等）

因?yàn)?△OAE?∠OAF

所以 OE=OF

然后因?yàn)镺D是BC的中垂線，所以 OB=OC

最后這兩個(gè)三角形都是直角三角形 （?OE⊥AB?，?OF⊥AC?）

所以?△OEB?∠OFC?（確實(shí)全等）

那么我們就有 BE=FC

（ 這里你可能會(huì)覺得角邊邊不能用來判定兩個(gè)三角形全等

實(shí)際上角邊邊確實(shí)不能判定兩個(gè)非直角三角形全等，但是可以用來判定兩個(gè)直角三角形全等，這是HL!

而這里，是直角三角形，所以證明沒有問題

如果你依然不能理解的話，我有兩個(gè)建議

1. 請復(fù)習(xí)一下全等三角形的部分

2. 請自行運(yùn)用三角函數(shù)來判斷一下 ）

最后證明 AB=AC

因?yàn)?AB=AE+BE, AC=AF+FC

而且 AE=AF, BE=FC

所以AB=AC

然后我們通過類似的方法，通過另一個(gè)頂角做角平分線的方法，可以證明AB=BC=AC

由于這是一個(gè)任意三角形，所以我們可以得出任何三角形都是等邊三角形

揭秘開始：

當(dāng)時(shí)的我，一開始沒有當(dāng)回事。但是當(dāng)我一遍又一遍地審閱其中的證明時(shí)卻傻眼了——我居然沒看出問題！此外，對于這道思考題，《重難點(diǎn)手冊》居然還沒有解答！

無奈之下，我拿出了直尺和圓規(guī)，決定親手作圖來看看其中的玄機(jī)。一畫完圖，我就意識(shí)到了其中的玄機(jī)——第一步就把我給糊弄了，非等腰三角形的角平分線和對邊的中垂線的交點(diǎn)，并不在三角形內(nèi)部，而是在三角形外部?。ǘ鴮τ诘妊切危瑒t這兩條線重合）

所以后續(xù)就是，確實(shí) AE=AF，確實(shí) BE=FC

但是 AB=AE+BE，而 AC=AF-FC

所以?AB≠AC?——而BE和AB的比值大概可以反映偏離等腰三角形的程度吧

并不是所有的三角形都是等邊三角形

實(shí)際上這個(gè)證明方法可以被用來作為反證法，用于證明

為何非等腰三角形的角平分線和對邊中垂線交點(diǎn)在三角形外；

為何三角形的角平分線一定在垂線和中線之間。

我很感謝這道題，很感謝它沒有給我答案，從而逼迫了我自己去找尋這么有意思的事情。

#寶藏圖文up主扶持計(jì)劃#