前文我們講過了UR的基本推理邏輯和思維，今天我們來看它們的一些變體。

請注意，本篇章的內(nèi)容比較多，而且越來越難，所以我不建議你一次看完，老老實(shí)實(shí)一個一個去理解吧。

Part 1 區(qū)塊類型（UR Type 2）

如圖所示，這個結(jié)構(gòu)就是上一講的結(jié)構(gòu)的拓展版。我們可以看到，如果r8c13(5)都沒有了的話，r38c13就會構(gòu)成關(guān)于3和9的唯一矩形，至于推導(dǎo)過程這里就不再過多重復(fù)了哈。反正就是有3和9的數(shù)對，然后結(jié)構(gòu)涉及的區(qū)域r38、c13和b17內(nèi)，都會有這樣的39顯性數(shù)對，于是乎，這個結(jié)構(gòu)內(nèi)就有兩種“互換”的填數(shù)情況，但都對其余單元格不造成除了3和9外的任何刪數(shù)或出數(shù)影響，這樣來違背唯一解的說法的。因此結(jié)構(gòu)不允許存在，故r8c13(5)里至少有一個5是格里面應(yīng)該填的數(shù)。

那么，不管哪一個格是5，這兩個5就形成了一種類似于區(qū)塊組的結(jié)構(gòu)，那么，b7和r8其余單元格都不應(yīng)該有5的出現(xiàn)了，所以，r7c3, r8c7, r9c1 <> 5。

另外，這樣的結(jié)構(gòu)稱為區(qū)塊類型或類型2（UR Type 2），或者第二類唯一性測試（Uniqueness Test 2）。

你以為UR就這么簡單嗎？我們要開始增大討論的難度了！我們來看另外一則示例。

如左圖所示，這個例子里存在一個XY-Wing結(jié)構(gòu)，并且我們通過刪數(shù)后，存在右圖的這種疑似的UR結(jié)構(gòu)。

在刪除掉r8c1(4)之后，有一個特別的結(jié)構(gòu)就浮出水面了：在r89c19處，只有一格只有3和9，其它都是3、4、9這三個候選數(shù)。如果說，這三個4全部沒有的話，剩下的所有3、9就會構(gòu)成致命形式。所以，r8c9、r9c19之中至少一格是4。不管那個單元格是4，這三個4共同對應(yīng)到的地方，就不應(yīng)該是4，而{r8c9, r9c19}(4)共同對應(yīng)的地方應(yīng)該為r9c78(4)，故結(jié)論為r9c8 <> 4。

這個結(jié)構(gòu)罕見之處在于，它不能單獨(dú)直接存在于盤面之中，而必須通過某個刪數(shù)之后，才會形成，比如這里的r8c1(4)。雖然看似這個例子跟區(qū)塊已經(jīng)無關(guān)了，不過它實(shí)際上想表示的是類似于區(qū)塊的“所有區(qū)塊的候選數(shù)不可同時被刪除掉”的這一性質(zhì)，所以這個構(gòu)型依然被稱為區(qū)塊類型，不過它和區(qū)塊已經(jīng)沒有什么關(guān)系了，只是借用區(qū)塊這個名字而已。不過，在外國人的命名規(guī)范里，這種類型有時候被稱為類型5（UR Type 5）或第五類唯一性測試（Uniqueness Test 5）。

我們再來看一個“類型5”的例子。

如圖所示，這個例子里，r7c8(1)和r8c5(1)不可同時被刪除掉，否則會形成致命形式，所以至少有一個1是對的，所以刪除交集，即r7c4(1)。

Part 2 數(shù)組類型（UR Type 3）

這一節(jié)，將講述UR和數(shù)組交織的使用邏輯。

2-1 UR+顯性數(shù)對

如圖所示，如果r7c2(6)和r7c3(7)同時從盤面上消失，那么結(jié)局是什么呢？結(jié)局就是r47c23會形成唯一矩形致命的形式。但是，r7c2(6)和r7c3(7)又不能同時都填進(jìn)去。如果同時都填進(jìn)去，即r7c2 = 6的同時r7c3 = 7，這樣會明顯導(dǎo)致r7c5沒有數(shù)字可填，這樣就違反了數(shù)獨(dú)的填數(shù)規(guī)則，所以，r7c2(6)和r7c3(7)，有且僅有一個數(shù)是最終正確的。

然后呢？然后看剛才的r7c5啦。如果r7c2(6)和r7c3(7)只有一個是對的，那不管是6對還是7對，都會和r7c5形成數(shù)對結(jié)構(gòu)嘛。有人會說了，數(shù)對還能這么用？當(dāng)然了，同一個區(qū)域下，兩個格內(nèi)只有兩種不同候選數(shù)，不就叫數(shù)對嘛。即使r7c2(6)對還是r7c3(7)對，始終都是針對于數(shù)字6和7的情況，而恰好，隔壁r7c5這個單元格就需要“接納”一個關(guān)于6和7的單元格來構(gòu)成數(shù)對。不管是只有6或7的其中一個候選數(shù)的單元格，還是有6和7兩個候選數(shù)的單元格，依然是一種“數(shù)對”，但數(shù)對結(jié)構(gòu)并不確定，只能確定其中一格，另一格則確定不了到底是r7c2還是r7c3，所以我稱它為“待定的”數(shù)對。那么最后的結(jié)論呢，就是r7c8 <> 7了。

這個結(jié)構(gòu)由于帶有一個數(shù)組（雖然是“待定的”，但是我們也保留了數(shù)組的名詞，所以這一類嵌套了數(shù)組使用的UR類型，稱為數(shù)組類型或類型3（UR Type 3），或第三類唯一性測試（Uniqueness Test 3）。

實(shí)際上這種數(shù)組由于最終位置是不固定的，所以這種數(shù)組有一個術(shù)語稱為待定數(shù)組（Almost Locked Set，簡稱ALS），不過這里我們不作詳細(xì)的討論，因?yàn)榇〝?shù)組可以脫離UR單獨(dú)使用，而且會非常精彩，所以我們此處將不作出詳細(xì)的原理說明，僅僅是UR層面夠用即可。

接著，我們來看看顯性三數(shù)組的示例。

2-2 UR+顯性三數(shù)組

如圖所示，我們的思維依然將r46c4兩格按照綠色和橙色分成兩類。分成兩類的好處就是方便和簡化討論的情況總數(shù)：

• 兩格都填綠色的候選數(shù)；

• 一格填綠色的候選數(shù)，一格填橙色的候選數(shù)；

• 兩格都填橙色的候選數(shù)。

如果都是綠色的候選數(shù)，則UR直接形成致命形式，所以這條直接行不通。

如果兩格都填橙色的候選數(shù)，可以觀察到，c4里涂色僅橙色的單元格目前就有4個了（算上r46c4，因?yàn)樗鼈儸F(xiàn)在只填橙色候選數(shù)），而r5c4和r9c4也都只有橙色數(shù)字，且只有數(shù)字1、2、7。這樣一來，c4里存在四個單元格只能放1、2、7三種數(shù)字的話，必然就有一格放不了任何數(shù)（畢竟只能一個1、一個2、一個7）。所以，這一條也會矛盾。

所以，r46c4里只可能一格是綠色的候選數(shù)，而另一個單元格填的是橙色的候選數(shù)。這樣一來，r59c4兩格剛好需要一格與之構(gòu)成三數(shù)組結(jié)構(gòu)，多了不行，少了不夠。所以現(xiàn)在就好比產(chǎn)生了一個關(guān)于1、2、7的顯性三數(shù)組了。所以c4除開r4569c4外的其余單元格都不能填入數(shù)字1、2、7，把它們都刪除。不過這個示例有點(diǎn)不幸的是，只有一個刪數(shù)r8c4(1)。

我們再來看一個帶顯性四數(shù)組的示例。

2-3 UR+顯性四數(shù)組

如圖所示，依然按照r5c12填入綠色候選數(shù)和橙色候選數(shù)來分析。中途的邏輯就不討論了，因?yàn)榍懊娴乃悸泛瓦@里是一樣的。

發(fā)現(xiàn)r5c12必須是一個單元格填入綠色的候選數(shù)數(shù)值，一個單元格填入的是橙色候選數(shù)數(shù)值后，就保證了恰好有一個橙色的候選數(shù)，隨后發(fā)現(xiàn)r5c369都只有候選數(shù)1、2、6、7，此時形成關(guān)于1、2、6、7的四數(shù)組（雖然不確定具體r5c1是橙色的數(shù)還是r5c2是橙色的數(shù)，但保證了r5c12里起碼得有一個1、2、6、7的數(shù)了，這樣就能形成數(shù)組）。

于是，我們能刪除掉r5里除開r5c12369外的其余單元格的候選數(shù)1、2、6、7。

接下來我們來介紹三則帶隱性數(shù)組的示例。

2-4 UR+隱性數(shù)對

如圖所示，和剛才的例子推理邏輯基本一致，只是這里得反過來看。如果把r12c6里的1和2看成橙色的候選數(shù)，而其它的所有候選數(shù)均算作一組的話，那么針對于r12c6而言，依然是三種情況：

• 兩格都是橙色的候選數(shù)數(shù)值；

• 一格是橙色的候選數(shù)數(shù)值；

• 沒有一格填入橙色的候選數(shù)數(shù)值。

那么就來討論一下。如果都是橙色的1和2的話，顯然它會和r12c2兩格形成UR的致命形式（畢竟都只剩1和2了），所以這種情況顯然是不可能的。

如果沒有一格是1和2，顯然也不行。這是因?yàn)?和2是兩種不同的數(shù)，但r1如果沒有了r12c2的話，就不再有1和2的合適的位置放下兩個數(shù)，可以從圖上看出，現(xiàn)在c3里只剩下r3c6可以放1或2，而這一個單元格僅能放一個數(shù)，所以1和2里總會有一個數(shù)放不下到c3上，導(dǎo)致這個數(shù)字在c3里無法出現(xiàn)，便產(chǎn)生了矛盾。所以這種情況依然是矛盾的。

所以，還是只得r12c6里一格是橙色的填數(shù)1或2。這樣一來，r3c6和r12c6的其中一格就形成了1和2的隱性數(shù)對，所以r3c6就不能填入1和2以外的其它數(shù)字；而r12c6是選取一個單元格填入1或2，而另外一個單元格則是可以填任意情況的，所以這兩個單元格是無法確定填數(shù)結(jié)果的，所以，總的來說，這個例子的刪數(shù)只有r3c6(34)。

2-5 UR+隱性三數(shù)組

如圖所示，和剛才的邏輯一樣，我們依然討論r5c23的填數(shù)情況。中間的邏輯就不推理了，這里給出結(jié)論：r5c23里必須有一個單元格填入的是1或6，而r5只剩下兩個單元格，可以放6和9了。這樣一來，r5c2368里必然只存在3個單元格能放下1、6、9，而且是恰好放滿，不多不少。所以這三個單元格里就不再可能填1、6、9以外的其它候選數(shù)了。不過r5c23是確定不了填數(shù)1和6的，所以我們只能保證r5c68是放1、6或者9的，所以這個題目能夠刪除的數(shù)字只產(chǎn)生于r5c68里，而且刪數(shù)必須是非1、6、9的其余候選數(shù)。

我們來看最后一個例子。

2-6 UR+隱性四數(shù)組

如圖所示，這是最后一個例子，也是最復(fù)雜的一個例子。我們來看看這個例子到底有何神奇的地方。

首先還是按照r7c89來討論填數(shù)情況，并最終得到r7c89里必須有一個單元格放6或者7，于是，此時發(fā)現(xiàn)r7里恰好有四個單元格能放下4、6、7、8。所以r7c89的其中一格和r7c123一并形成4、6、7、8的隱性四數(shù)組結(jié)構(gòu)，而r7c123才是能確定填數(shù)的情況的，所以刪數(shù)將從r7c123里產(chǎn)生：刪除非4、6、7、8的候選數(shù)。

2-7 數(shù)組顯隱性可互補(bǔ)，那么UR里的數(shù)組呢？

既然數(shù)組的顯隱性互補(bǔ)，那么UR里的數(shù)組是否也滿足互補(bǔ)的要求呢？實(shí)際上，是的，我們隨意找出一則示例就可以看出來。

例如上述的隱性四數(shù)組的例子，我們看互補(bǔ)的情況，這個時候應(yīng)當(dāng)看的是剩余的單元格r7c456，不過和顯隱性互補(bǔ)不同的是，此時r7c89依然要看。

在互補(bǔ)后，實(shí)際上r7形成的是1、2、3、9的顯性四數(shù)組，這也是合適的，畢竟r7c7是確定值被占據(jù)了一個單元格。

Part 3 共軛對類型（UR Type 4）

3-1 基本推理

我們再來看最后一則UR的類型。思路看起來簡單，但有點(diǎn)難理解。

如圖所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，這個結(jié)構(gòu)里，r4c15是2、7的顯性數(shù)對，而且，這個例子還有一個現(xiàn)象，雖然不是很能引起注意，不過依然很重要的一個推導(dǎo)條件：r5上數(shù)字2只有r5c15兩處。這一點(diǎn)很重要，為什么呢？

試想一下，r4c15又只能放2和7，而r5c15里其中一個單元格2，則另外一格就不允許填7。不然的話，四格就只有2和7了，這便形成了致命形式。

3-2 別急，結(jié)論還不知道，我們來看看問題

或許你會問，既然我們都填好了數(shù)字，就像圖上這樣，那憑什么能說明它依然形成致命形式呢？畢竟數(shù)字填好了就動不了了，怎么還產(chǎn)生兩種填法呢？那么我們來看看。

我們假設(shè)最終是r5c1是填2的，要是r5c5是7的話，就會產(chǎn)生如下的填數(shù)格式：

不過，看似填好了，但客觀來說，它確實(shí)存在另外一種與之匹配的填數(shù)格式：

雖說填好了，但依然可以產(chǎn)生“置換”，原因很簡單：因?yàn)樗鼈兪翘钊霐?shù)，而非提示數(shù)，數(shù)字就能發(fā)生變換，畢竟它不固定。這樣也算有兩種填法。

實(shí)際上，官方的解釋方式是這樣的：即使已經(jīng)填好一種填法后，因?yàn)樘顢?shù)是行、列、宮內(nèi)成為數(shù)對形式的，所以實(shí)際上就一定客觀存在能與之交換的另外一種填法，這種客觀存在的填法不受候選數(shù)是否存在的約束?；蛘邠Q句話說，UR形成兩種填數(shù)的情況，并不受候選數(shù)的約束，只要四格的填數(shù)構(gòu)成a、b、a、b的形式的填法，就必然會產(chǎn)生a和b置換的另外一種填法，哪怕其中一格不存在其候選數(shù)a或者b，防止其置換。

所以，置換是客觀存在的，并不受到候選數(shù)情況的約束。因此，致命形式依然是能夠形成的。

3-3 那么，結(jié)論呢？

還記得推理的結(jié)果嗎？r5c15里，因?yàn)橛幸粋€是2，所以另外一格就不允許是7，否則相當(dāng)于r5c15形成了2和7的數(shù)對結(jié)構(gòu)，而上面也是2和7的數(shù)對，將會客觀存在兩種填法，導(dǎo)致出現(xiàn)致命形式。所以，r5c15的任意一個候選數(shù)7都是不允許存在的，也因此，r5c15兩處的7都應(yīng)該被刪除。

這個就是我們所謂的共軛對類型或類型4了（UR Type 4），也稱為第四類唯一性測試（Uniqueness Test 4）。

3-4 有一些想說的

這種刪除方式更加新奇。它利用了2的填數(shù)情況只能位于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的特性，得到了致命形式，從而排除了這么一個假設(shè)。這里要介紹一個術(shù)語：共軛對（Conjugate Pair）。共軛對指的就是這里的這個r5的這倆數(shù)字2。

共軛對的定義是：在同一區(qū)域下，只有兩處可填某一個候選數(shù)的單元格下的這兩個相同的候選數(shù)；或是同一個只有兩個候選數(shù)的單元格下的這兩個不同的候選數(shù)。

解釋起來有點(diǎn)復(fù)雜，說白了就是：因?yàn)閞5上只有兩處可填2的位置r5c15，所以r5c1(2)和r5c5(2)就是共軛對。

共軛對的特征是，兩個數(shù)有且僅有一個正確。這一點(diǎn)希望你記住，不止是這一節(jié)才會用到，后面鏈以及更靠后的地方，也會使用到這一個特征。

那么，我們再來看另外的使用共軛對的示例類型。

3-5 二鏈列類型（UR Type 6）

如圖所示，可以從示例里看到，所有4的填數(shù)位置僅出現(xiàn)于r46c37四格里。那么這樣的話，4的位置只可能有如下兩種填法：

• r4c3和r6c7同為4；

• r6c3和r4c7同為4。

這是不是很像是一個二鏈列結(jié)構(gòu)呢，因?yàn)槎溋械淖罱K填法也是交叉的兩種情況？我們接著來看。我們發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的左下角和右上角（r6c3和r4c7）兩格，都只有4和9兩個候選數(shù)。如果左上角和右下角（r4c3和r6c7）都同時是4的話，這必然會使得同為4和9兩個候選數(shù)的兩個只可以填入9。這樣，就形成了關(guān)于4和9的致命形式。雖然已經(jīng)填入，但因?yàn)榻K歸是自己填入的數(shù)字，所以依然可以產(chǎn)生4和9的交換寫法，這樣就跟四格都是4和9兩個候選數(shù)的唯一矩形致命形式?jīng)]有本質(zhì)上的區(qū)別了。所以，為了避免致命形式出現(xiàn)，4的位置只可能是另外一種情況：r6c3和r4c7同為4。

這個結(jié)構(gòu)因?yàn)檫\(yùn)用了二鏈列的思路，所以被稱為二鏈列的類型；而我們在使用二鏈列的思路的時候，原理依然是借助了“共軛對”的方式的：如果r4c3 = 4時，則r6c3 <> 4，而r6有4的共軛對，所以r6c7 = 4。反過來也是一樣的：如果r6c7 = 4時，則r4c7 <> 4，而r4有4的共軛對，所以r4c3 = 4。所以，它依然歸到共軛對里。

這里簡單提一下的是，有一些數(shù)獨(dú)分析軟件把這種類型歸到類型6（UR Type 6）或者第六類唯一性測試（Uniqueness Test 6）。這一點(diǎn)不受影響，你知道和了解即可。

3-6?隱性唯一矩形（Hidden UR/UR Type 7）

最后來介紹一種利用共軛對的新型技巧，這個技巧還有一個單獨(dú)的技巧名：隱性唯一矩形（Hidden Unique Rectangle）。

首先我們觀察到，r1和c3上，都有5的共軛對，而且共軛對涉及的單元格剛好是這個結(jié)構(gòu)涉及的其中三個單元格。那這有什么用處呢？

試想一下，5的共軛對涉及r1c3、r1c7和r3c3這三個單元格，那么就這三格而言，填5只可能有以下兩種可能：

• r3r3 = r1c7 = 5；

• r1c3 = 5。

如果r3r3和r1c7同為5的話，可以確定的是，r3c7只能填1（因?yàn)閞3c7只有1和5兩個候選數(shù)）。那么，r1c3就不能填1了。因?yàn)閞1c3如果此時還填1的話，r3c7也是1，然后剩余兩格又是5，這就構(gòu)成了1和5的致命形式。之前說過，雖然已經(jīng)填入了四格，看似已經(jīng)不能發(fā)生變動，但是終歸是自己填的，而不是提示數(shù)，這樣就可以交換四格的填數(shù)，并產(chǎn)生客觀的另外一種填法，就形成了類似于標(biāo)準(zhǔn)類型致命的形式。所以此時r1c3不應(yīng)為1。

第二種情況則是r1c3為5。那很明顯，r1c3都是5了，那肯定這格就不能填1了。

所以，所有兩種情況都能使得r1c3不可以填1，所以r1c3 <> 1，所以可以安全地刪除掉這個候選數(shù)。

這個結(jié)構(gòu)運(yùn)用到的是行和列兩個“維度”上的同數(shù)的共軛對，所以依然是共軛對的類型。而至于分類呢，有些分析軟件將其歸為類型7（UR Type 7）。但是有趣的是，它有個單獨(dú)的技巧名——隱性唯一矩形，說明這個唯一矩形的位置是隱藏在里面的，不容易看到。

Part 4 其他UR類型

下面給大家陳列一則不屬于前面任何一種類型的示例，但和前面的推理思路有很深的關(guān)系。

如圖所示，這個結(jié)構(gòu)看起來跟UR都沒有什么特別大的關(guān)系了，不過它依舊能夠形成刪數(shù)，刪數(shù)就是圖中給出的紅色的候選數(shù)。那么它是如何被刪除的呢？我們下面分成兩個圖為大家呈現(xiàn)出來。

左圖給出的是示例里r8c8 = 4時的情況，而右圖則給出的是r8c8 = 5的情況。仔細(xì)對比兩個示例，就可以發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際運(yùn)用到的是共軛對類型的基本推導(dǎo)思路。

先看左圖，當(dāng)r8c8 = 4的時候，r89c7變?yōu)?、8的顯性數(shù)對結(jié)構(gòu)，而由于r89c5存在c5上關(guān)于8的共軛對，所以r89c5里必須要填入一個8，那么由于剛才的填數(shù)模式，就可以發(fā)現(xiàn)，r89c5里就不能再放入5了，否則r89c57將會構(gòu)成關(guān)于5、8的唯一矩形的致命形式，所以此時應(yīng)當(dāng)刪除掉的是r89c5(5)。當(dāng)然，由于r8c8 = 4的關(guān)系，此時r8c5根據(jù)排除的規(guī)則，肯定也可以去掉r8c5(4)。

再看右圖。當(dāng)r8c8 = 5的時候，r89c7變?yōu)?、8的顯性數(shù)對結(jié)構(gòu)，而由于r89c5此時還是存在關(guān)于8的共軛對，所以r89c5里必須有一個8的出現(xiàn)，而另外一個則不能是4，否則r89c57將會形成關(guān)于4、8的唯一矩形的致命形式，所以此時應(yīng)當(dāng)刪除r89c5(4)；當(dāng)然了，由于排除的關(guān)系，r8c5此時也不能填入5。

所以，可以對比兩種情況就可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)論可以刪除的數(shù)字里，r8c5(45)是同時都可以被去掉的，所以r8c5 <> 45是這個推導(dǎo)過程的結(jié)論。

這個示例非常有趣的地方在于，它在推導(dǎo)過程里完美詮釋了共軛對類型的唯一矩形結(jié)構(gòu)的推理過程，但它又不同于這個類型，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)并不是這樣簡單清晰的樣子。

技巧信息

• 區(qū)塊類型（類型2）：難度4.6。

• 區(qū)塊類型（類型5）：難度4.6。

• 數(shù)組類型（類型3）：難度4.6+數(shù)組規(guī)格*0.1+(是顯性?0:0.1)。

• 共軛對類型（類型4）：難度4.6。

• 二鏈列類型（類型6）：難度4.8。

• 隱性唯一矩形（類型7）：難度4.8。

“*”是乘號，“a?b:c”是條件計算，a條件成立的時候取b，否則取c。為了簡寫才放到一行上的。

名詞解釋

• 待定數(shù)組（Almost Locked Set，簡稱ALS）：數(shù)組不是真正成立的，它有點(diǎn)類似于“退化了的”數(shù)組，但是，它和普通的數(shù)組不同，待定數(shù)組的規(guī)格總是比它涉及的數(shù)字種類數(shù)要少一個。比如4個格子里一共有5種不同的數(shù)字，那么這個結(jié)構(gòu)就可以叫待定數(shù)組。這段內(nèi)容已經(jīng)超綱，但不得不在這里說。

• 共軛對（Conjugate Pair，簡稱CP）：當(dāng)某一個行/列/宮（即區(qū)域）里，有且僅有兩處可以放數(shù)字a的位置，那么我們把這兩個a叫做一組共軛對。