以下內(nèi)容為多方結(jié)合整理以及個(gè)人總結(jié)，未完待續(xù)。

其中的技巧大多數(shù)都是能直接有助于拿分的！

個(gè)人感覺非常有用，其中還有一些其他同學(xué)經(jīng)常錯(cuò)或不懂的點(diǎn)~

希望能對(duì)你有所幫助~~

1.導(dǎo)數(shù)化簡技巧

非常重要的關(guān)于導(dǎo)數(shù)化簡的小技巧?。。?/span>

就記?。?/p>

1°碰到eX，就讓eX盡量與變量x相匹配，比如xeX，x/eX都可以，因?yàn)閑X導(dǎo)出來還是eX，而且恒大于零，對(duì)分類討論沒有任何限制條件。

2°碰到lnx，一定要把lnx單獨(dú)分出來放到一邊！

因?yàn)閘nx單獨(dú)分開時(shí)，它的導(dǎo)數(shù)就是1/x，非常簡單，也很好分析。但如果要是和別的量放在一起，那就會(huì)復(fù)雜許多！?。∫?yàn)楹蛣e的量放在一起（常數(shù)不算），導(dǎo)完以后還是會(huì)有l(wèi)nx，還要再導(dǎo)！！

比如f（x）=lnx/x，這個(gè)時(shí)候要是直接導(dǎo)，那就會(huì)出現(xiàn)（1-lnx）/x2，然后要是進(jìn)一步計(jì)算就要單拎出lnx二階導(dǎo)。

但這時(shí)令一個(gè)新的函數(shù)g(x)=f(x)/x=lnx，那么g(x)的導(dǎo)數(shù)就是1/x，就不需要二階導(dǎo)了。（注意，這里x的定義域是＞0，所以直接除去x可以，其他情況還是要考慮一下正負(fù)的。）

主要就是通過乘除x之類的量，使得lnx單獨(dú)出來，方便運(yùn)算與討論。

2.參數(shù)分離

視頻來源：BV147411K7xu

①對(duì)于沒有學(xué)過的函數(shù)，可以嘗試去猜根（試根）

有的時(shí)候因式分解會(huì)直接幫助得出根。

②考試不要用“↑”、“↓”箭頭來表示單調(diào)遞增或遞減，要完全寫出來。

③大致畫個(gè)圖確認(rèn)單調(diào)性，直接判斷。

（討論單調(diào)性，嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)是不能直接畫圖解釋單調(diào)性的，因?yàn)閳D像不作為解題依據(jù)?。。?/p>

④壓軸題中導(dǎo)函數(shù)求零點(diǎn)時(shí)，大多要進(jìn)行因式分解，因式分解一般會(huì)有一點(diǎn)點(diǎn)難度，要了解一部分基礎(chǔ)的湊配方式，比如提出一個(gè)x分給另外一個(gè)式子，還有加減常數(shù)湊配，或者提出系數(shù)湊配之類的。

關(guān)于猜根的一點(diǎn)補(bǔ)充：

猜根也不是瞎猜，基本上就是猜0,1,2，-1，e這類數(shù)字，一般來說也不是很難猜。

猜根還要注意定義域的限制，比如說猜了一個(gè)“-1”，結(jié)果原函數(shù)是lnX，也就是定義域大于0，那么這個(gè)根“-1”就直接作廢。

所以猜根之前，一定要先看定義域，有的時(shí)候定義域就可以直接篩選掉不存在的根，縮小猜根的范圍，也就更好去猜。

3.隱零點(diǎn)（虛設(shè)零點(diǎn)）

隱零點(diǎn)的相關(guān)解法

首先介紹一下零點(diǎn)存在性定理。

零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）*f（b）＜0。

那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b)，使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根。

對(duì)于函數(shù) y=f(x) ，使f（x）=0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，即零點(diǎn)不是點(diǎn)。

（零點(diǎn)是y=0時(shí)，x=？中“？”的值！）

這樣，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程 f（x）=0 的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

但在導(dǎo)數(shù)中，用這個(gè)定理一定要先判單調(diào)性?。?！一定要?。?！

有的人可能會(huì)問為什么，在此用一組概念辨析來解釋一下：

請(qǐng)判斷下面兩個(gè)命題哪個(gè)是正確的：

①若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。

②若y=f(x)在在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，則必有f(a)·f(b)<0

↓↓↓

①一定是對(duì)的，這就是定義。

但②就錯(cuò)了，雖然只是把①反過來說，但這很明顯是錯(cuò)的，比如說x2，有一個(gè)零點(diǎn)，但當(dāng)x取-1,1時(shí)，1*1大于零，不滿足②

這時(shí)怎么說才對(duì)呢？這就引出了導(dǎo)數(shù)中判零點(diǎn)要用到的零點(diǎn)唯一性定理

零點(diǎn)唯一性定理：

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，端點(diǎn)值滿足f(a)·f(b)<0,且函數(shù)在(a,b)上單調(diào)，則y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。

反過來說也對(duì)

這就是說，如果要判零點(diǎn)，必須帶上單調(diào)性，使用零點(diǎn)唯一性定理，所算出來的才一定是正確的！

切記單調(diào)?。?！

現(xiàn)在來講講隱零點(diǎn)的出現(xiàn)情況：

一般都是在證明不等式中出現(xiàn)，比如某函數(shù)恒大于零。

首先對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論單調(diào)性等情況。

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，出現(xiàn)了類似于xlnx，xex此類的項(xiàng)時(shí)，將這些復(fù)雜的項(xiàng)單拎出來進(jìn)行二次求導(dǎo)。

二次求導(dǎo)找零點(diǎn)判單調(diào)性。

這時(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)二階導(dǎo)g(x)=0時(shí)，x解不出來（高中范疇內(nèi)解不出來，其實(shí)都可以解）

這個(gè)時(shí)候就要虛設(shè)零點(diǎn)

意思就是g(x)=0，這個(gè)x是解不出來的，那就令x=x0，這個(gè)x0就代表g(x)=0的解。

但是要討論單調(diào)性，必須還要知道這個(gè)零點(diǎn)的位置在哪，但這個(gè)位置算不出來，所以這個(gè)時(shí)候就要嘗試對(duì)單拎出來的這一項(xiàng)函數(shù)進(jìn)行賦值，來確定x0的大致范圍。

賦值：就是取值往原函數(shù)里代，進(jìn)行計(jì)算進(jìn)一步估算零點(diǎn)。

通過各種定義域，大小關(guān)系，去限制隱零點(diǎn)所在區(qū)間，最后限定在一個(gè)大致的區(qū)間范圍內(nèi)即可。

比如在有l(wèi)og或者ln的式子中，定義域x＞0，則隱零點(diǎn)的取值范圍只能在（0，+∞）之內(nèi)。

當(dāng)然這個(gè)范圍還是很大，只是在此舉個(gè)例子講一下怎么利用各種關(guān)系去約束取值范圍從而得到最小的大致范圍。往往題目所要利用的就是用這種“逼近”方法所能取到的最小范圍。

比如現(xiàn)已確定零點(diǎn)的范圍是（0,1），假定函數(shù)單增

那么要進(jìn)一步逼近零點(diǎn)，就可以采用賦值的方法。

比如賦值x=1/2代入原函數(shù)（注意是原函數(shù)，不是導(dǎo)函數(shù)），如果得到的f(1/2)＞0，又因?yàn)楹瘮?shù)單增，則零點(diǎn)的范圍縮小到（0,1/2）中

若f(1/2)＜0，則零點(diǎn)的范圍縮小到（1/2，1）中。

但一般在隱零點(diǎn)問題中代入的值一般是正整數(shù)1,2,3,4等等，很少有分?jǐn)?shù)，雖然說這樣賦值所限定的范圍還是不那么精確，但大多數(shù)題目就足夠用了。

然后知道了x0的大致范圍（就當(dāng)做x0的定義域），再把x0直接當(dāng)做一個(gè)常數(shù)帶回到g(x)=0，代換得到關(guān)系。

再將此關(guān)系代回到原函數(shù)f(x)，對(duì)此時(shí)的函數(shù)f(x0)化簡并運(yùn)用關(guān)系即可證明不等式

大多數(shù)這類題目的思路就是這樣的。

4.超越函數(shù)（六大母函數(shù)）

第二個(gè)：超越函數(shù)（重點(diǎn)）

超越函數(shù)就是類似于上面xe的x次方的這種函數(shù)，靠一般方法解不出零點(diǎn)的（就是隱零點(diǎn)），這一類稱為超越函數(shù)，也有的稱之為6大母函數(shù)。

這類超越函數(shù)最有用的是它們的圖像走向，極值點(diǎn)零點(diǎn)等關(guān)鍵信息，這些信息常被用來直接或間接地出在題目里，而用在小題中時(shí)，你還要花時(shí)間去導(dǎo)，去看單調(diào)性，極值點(diǎn)等等。

但有了圖像，就可以直接立判，省去時(shí)間，甚至直接出結(jié)果。

以下是導(dǎo)函數(shù)的六種圖像，截圖來源于超越函數(shù)講解課程。

有的時(shí)候題目不會(huì)直接給出這六大母函數(shù)，但是只要出現(xiàn)xlnx，xex之類的項(xiàng)，就可以考慮往超越函數(shù)上想，然后通過同除掉x，或者將x從左移到右邊等等代換方法就可以把題目化簡為交點(diǎn)問題或是其他類型的問題，這個(gè)時(shí)候有的可以根據(jù)圖像特征直接出結(jié)果，有的可能還要用到切線放縮等地方的知識(shí)。

但相比于基礎(chǔ)方法來說還是要更快的。

5.必要性探路

例題來源于BV147411K7xu的p207

主要是對(duì)例二進(jìn)行補(bǔ)充來講這個(gè)必要性探路。

關(guān)于例題二有一點(diǎn)點(diǎn)補(bǔ)充，那就是必要性探路

必要性探路，就是在題目給的范圍內(nèi)賦值去試，從而減少討論次數(shù)，化簡過程。

以例題二為例，簡要的講一下。

∵X∈[0，π]，f(x)≥0恒成立

∴令x=0代入得f(x)=-(1+a)

∵f(x)≥0恒成立

∴可得a≤-1

于是就把a(bǔ)限制在了a≤-1的范圍內(nèi)

神奇的一幕出現(xiàn)了！

因?yàn)閍≤-1，所以一數(shù)討論的情況一，情況二，情況三，通通直接無解！??！就等于說你不用算了，直接討論最后一種即可！

而且，大題可以直接用哦~~~~

注意點(diǎn)：

必要性探路，所賦的值必須在定義域以內(nèi)，而且要用題目給的大小關(guān)系來約束?。?/span>

如果要使用必要性探路，一定要一上來就寫，而不是放在最后寫?。?/span>

而且，賦值的出來的大小范圍就可以直接用了~

必要性探路，一般來說可以化簡90%以上的題目，省去不必要的分類討論！而且你可能會(huì)猶豫到底是寫還是不寫，在此給個(gè)建議，如果題目太簡單，直接分類做就是了，如果給的是復(fù)雜函數(shù)求范圍，那就先用上，就算題目屬于那10%沒用的，也耽誤不了幾分鐘。

其余內(nèi)容有待補(bǔ)充~~暫時(shí)還沒有時(shí)間，準(zhǔn)備補(bǔ)充：函數(shù)的凹凸性，泰勒展開等高階內(nèi)容以及導(dǎo)數(shù)逆構(gòu)造、同構(gòu)等內(nèi)容~~