一：定義證明（加黑體字母為向量）

有數(shù)量積可知：a?b=|a||b|cosθ，有推理出

數(shù)量商可知a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)公式均不符合乘法/除法的運(yùn)算性質(zhì)?！?span id="s0sssss00s" class="color-default">一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（縮?。﹏倍，另一個(gè)因數(shù)不變，積也相應(yīng)的擴(kuò)大（縮?。﹏倍（n不等于0）。】

除法同理。但是注意了這里講的是“數(shù)”，并不是“向量”，這是因?yàn)橄蛄渴且粋€(gè)既有大小也有方向的矢量。所以部分人得出的結(jié)論（向量不存在除法）的一個(gè)原因如下：

??證明：（部分人認(rèn)為的）

因?yàn)橛?/3=2，除了6之外無(wú)法找到其他的數(shù)字能夠符合等式。但是：

a?b=|a||b|cosθ：(如圖）

???

在直線L上的任意的a均滿足a?b=|a||b|cosθ，左邊的向量a一直在改變，但是右邊的數(shù)卻一直沒(méi)有改變，如果將b除過(guò)去那么得到a=|a||b|cosθ/b，

a擁有無(wú)數(shù)個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。所以不存在向量的除法。

??其實(shí)這本身就是錯(cuò)誤，向量是不可以直接相除的，在上一篇文章中已經(jīng)說(shuō)明過(guò)，這里再次給出證明：

證明：

不妨已知a?b=a?c，如圖所示

?

?

?

?如果直接將a直接約掉，那么可以得到b=c，如圖所示明顯的：b≠c，所以直接以它得出向量沒(méi)有除法是不靠譜的并且是錯(cuò)誤的，而且顯然向量不可以直接相除的，原因在哪里呢，其實(shí)前面說(shuō)過(guò)了向量是一個(gè)既有大小也有方向的矢量。是不是有點(diǎn)抽象？不用著急，三里面還會(huì)再次闡明。

?

二：對(duì)于逆運(yùn)算的解析

??很多人對(duì)于數(shù)量積來(lái)推出數(shù)量商有很大的疑問(wèn)，接下來(lái)我們來(lái)說(shuō)一說(shuō)對(duì)于數(shù)量積和數(shù)量商的關(guān)系做出解析，說(shuō)明如下：（其實(shí)上一篇文章也提到過(guò)）

??有數(shù)量積可知：a?b=|a||b|cosθ，同除以|b|2（注意：這里是同時(shí)除以一個(gè)數(shù)）。有特殊：|b|2=b2=b?b（必修二P19),可化簡(jiǎn)為a?b/|b|2=a?b/b?b，可化簡(jiǎn)為:a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>。這里說(shuō)明一個(gè)點(diǎn)：同一個(gè)除法中可以同時(shí)在“/”上下除以一個(gè)相同的向量，證明如下：

??易得a/a=1，b/b=1（兩個(gè)相同向量相除），有非

零向量a,b。常數(shù)x,y。則有以下性質(zhì):

x/y=xa/ya

=x|a|/y|a|

=x|a|2/y|a|2

=x(a+b)/y(a+b)

=x(a+b)2/y(a+b)2

如圖所示：

?

所以，同一個(gè)除法中可以同時(shí)在“/”上下除以一個(gè)相同的向量?。

三：實(shí)例分析（上一篇文章提到過(guò)）

有a?b=|a||b|cosθ，設(shè)a=（1，0），|a||b|cosθ=1，可以得到b有多解，b?=（1，√3/3），b?=(1,√3),原因如圖:

?

由倒數(shù)向量可知b?=（√3/2，1/2），b?=(1/2,√3/2),

直觀的，因?yàn)?strong>a=（1，0），b?=（1，√3/3）。則a向量y方向上的“0”將b向量y方向上的任意數(shù)值全部歸為“0”，所以才有了b=|a||b|cosθ/a中，b擁有無(wú)數(shù)個(gè)值與之對(duì)應(yīng),也就是說(shuō)a?b=|a||b|cosθ中的a是不允許直接“移動(dòng)”，并相除的，因?yàn)橹苯酉喑龥](méi)有另一個(gè)使得a向量y方向上的值歸為“0”的數(shù)，我們就再次印證了不能夠隨意除以向量。

?

四：理論說(shuō)明

理論說(shuō)明：因?yàn)椤捌胀ǖ某顺ā眱H僅只是兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算，求出的數(shù)值一定。但是向量的乘除法是一個(gè)“不普通的乘除法”，有著不局限于普通法則束縛枷鎖的思維運(yùn)算，也就是說(shuō)，向量不僅僅有大小，同時(shí)它還擁有方向。本身具有兩個(gè)變量的它，使得它的運(yùn)算變得與眾不同。舉個(gè)例子：你想知道你的鋼筆為什么寫(xiě)不出來(lái)了，那么這個(gè)探究就擁有多個(gè)變量：①是否沒(méi)墨了，②鋼筆的儲(chǔ)存墨水的“地方”是不是漏了，等等。你在只知道鋼筆寫(xiě)不出來(lái)時(shí)能夠直接說(shuō)是什么原因嗎（嚴(yán)格的講），其實(shí)是不能的。向量同理?yè)碛袃蓚€(gè)變量的它，我們?cè)谶\(yùn)算探究的時(shí)候也是不能夠直接去看的，它本身就是一個(gè)特殊的運(yùn)算工具，出現(xiàn)和其普通結(jié)論相悖的結(jié)論是正常的一件事情，但我們不去定義或者沒(méi)有發(fā)現(xiàn)我們就能說(shuō)它不存在嗎，顯然也是不行的，所以向量的除法應(yīng)該是可以有的，也就是說(shuō)，它是存在的。

?注：未經(jīng)允許，任何人不可以以任何方式大量復(fù)制本文，本篇文章為原創(chuàng)文章，作者擁有最高解釋權(quán)。

后記：

前面所有的論述全為個(gè)人理解，沒(méi)有權(quán)威的解釋?zhuān)缬胁粚?duì)的地方請(qǐng)各位讀者批評(píng)指正，謝謝。

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