? ? ? ?一些背景:1980年實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家馮·克利青（Von Klitzing）與其合作者首先觀測(cè)到了量子化的霍爾效應(yīng)，并且因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)這種整數(shù)量子霍爾效應(yīng)（IQHE）而獲得了1985年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

? ? ? ?給二維晶體加一個(gè)z方向磁場(chǎng)后會(huì)出現(xiàn)霍爾電阻，經(jīng)典的電磁學(xué)或者說經(jīng)典的Boltzmann輸運(yùn)告訴我們，縱向電阻是一個(gè)常數(shù)，橫向電阻與磁場(chǎng)的關(guān)系是線性的。但是馮·克利青在大遷移率二維樣品以及低溫強(qiáng)磁場(chǎng)(15T)環(huán)境中測(cè)量到了量子化的霍爾電阻平臺(tái)，平臺(tái)的平整度非常高，而且每個(gè)平臺(tái)對(duì)應(yīng)于一個(gè)整數(shù)。

? ? ? 我們知道，輸運(yùn)性質(zhì)是非常依賴于材料本身的，有效質(zhì)量、雜質(zhì)、材料的尺寸都會(huì)對(duì)輸運(yùn)產(chǎn)生影響，但是驚人的是，后續(xù)對(duì)于不同二維材料的實(shí)驗(yàn)表明，這種量子化的電導(dǎo)平臺(tái)具有普適性，且其僅僅與基本物理學(xué)常數(shù)有關(guān)（電子電荷、普朗克常數(shù)），這就意味著其背后一定有深刻簡(jiǎn)潔的普適的基本物理規(guī)律！

? ? ? ?IQHE發(fā)現(xiàn)后不久，1982年華裔物理學(xué)家崔琦和德國物理學(xué)家施特默（H. L. Stormer)在更大的磁場(chǎng)中發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)相關(guān)的電阻平臺(tái)，即分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)(FQHE),而后人們意識(shí)到FQHE是一個(gè)真正的多體問題。Laughlin提出了Laughlin多體波函數(shù)，預(yù)言了1/3電荷，以及Jain的復(fù)合費(fèi)米子理論，成功地解釋了FQHE。之后量子霍爾效應(yīng)家族不斷發(fā)展壯大，包括量子自旋霍爾效應(yīng)、量子反?；魻栃?yīng)etc. 華人物理學(xué)家做出了卓越貢獻(xiàn)，比如張首晟教授、戴希教授、薛其坤教授。另一方面，IQHE將凝聚態(tài)物理帶入了拓?fù)淠蹜B(tài)的新時(shí)代，原本的凝聚態(tài)物理可以說建立在朗道的Fermi liquid理論以及相變理論之上，自IQHE以后，凝聚態(tài)物理開始關(guān)心體系的整體幾何性質(zhì)，新物理層出不窮。

? ? ? ?這個(gè)專題講了什么：這個(gè)專題首先利用Boltzmann輸運(yùn)理論回顧了經(jīng)典霍爾效應(yīng)的結(jié)論 ( 對(duì)這部分計(jì)算不感興趣，或者熟悉經(jīng)典霍爾效應(yīng)的讀者，建議跳過），然后介紹了三種對(duì)于整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的理解，包括Halperin的邊緣態(tài)圖像 ( 其中介紹了對(duì)于實(shí)驗(yàn)方向讀者非常有用的Buttiker formula)、Laughlin的charge pumping圖像、TKNN拓?fù)鋽?shù)。由于這個(gè)專題放在能帶拓?fù)鋵谥校覀兊闹攸c(diǎn)還是在于從拓?fù)鋽?shù)的角度理解IQHE，我們將利用線性響應(yīng)+松原格林函數(shù)，嚴(yán)格地推導(dǎo)橫向霍爾電導(dǎo)與Chern nubmber的關(guān)系。（如果讀者對(duì)計(jì)算過程不感興趣或者不熟悉多體方法，可以跳過證明，直接接受TKNN公式）

? ? ? 說在前面：需要固體物理，尤其是朗道能級(jí)的知識(shí)，以及Berry Phase的知識(shí)（Berry phase的詳細(xì)內(nèi)容在附錄中）