2023-06-24：給你一根長度為 n 的繩子， 請把繩子剪成整數(shù)長度的 m 段， m、n都是整數(shù)
2023-06-24：給你一根長度為 n 的繩子，
請把繩子剪成整數(shù)長度的 m 段，
m、n都是整數(shù)，n > 1并且m > 1，
每段繩子的長度記為 k[0],k[1]...k[m - 1]。
請問 k[0]k[1]...*k[m - 1] 可能的最大乘積是多少？
例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。
答案需要取模1000000007。
輸入: 10。
輸出: 36。
答案2023-06-24：
具體步驟如下：
1.如果n <= 3，返回n-1。
2.如果n > 3，計算剩下繩子長度為n - 4，此時剩下的長度為4。
3.如果剩下的長度為0，即n為3的倍數(shù)，最后一段長度為1；如果剩下的長度為2，最后一段長度為2；如果剩下的長度為4，最后一段長度為4。
4.計算3的個數(shù)，即rest = n - (剩下的長度)；計算最后一段的長度last。
5.利用快速冪算法計算3的rest/3次方取mod后的結(jié)果，記為power(3, rest/3)。
6.返回(power(3, rest/3) * last) % mod作為最大乘積的結(jié)果。
例如，當n為10，按照上述步驟計算：
1.n > 3且不是3的倍數(shù)，剩下的長度為2，最后一段長度為2。
2.計算3的個數(shù)，rest = n - 2 = 8。
3.計算power(3, rest/3) = power(3, 8/3)。
4.返回(power(3, 8/3) * 2) % mod，計算結(jié)果為36，即最大乘積。
因此，輸入為10，輸出為36。
該代碼的時間復雜度為O(log(n))，空間復雜度為O(1)。
在函數(shù)power中，通過快速冪算法計算x的n次方，時間復雜度為O(log(n))。在函數(shù)cuttingRope中，沒有使用任何循環(huán)或遞歸，只有一些簡單的判斷和計算操作，因此時間復雜度為O(1)。
對于空間復雜度，代碼只使用了常數(shù)級別的額外空間來存儲變量，因此空間復雜度為O(1)。不隨輸入規(guī)模的增加而增加。
go完整代碼如下：
package?main
import?"fmt"
const?mod?=?1000000007
//?power計算x的n次方，取mod后的結(jié)果
func?power(x?int,?n?int)?int?{
????ans?:=?int64(1)
????x64?:=?int64(x)
????n64?:=?int64(n)
????for?n64?>?0?{
????????if?n64&1?==?1?{
????????????ans?=?(ans?*?x64)?%?mod
????????}
????????x64?=?(x64?*?x64)?%?mod
????????n64?>>=?1
????}
????return?int(ans)
}
//?cuttingRope根據(jù)觀察得到的規(guī)律計算繩子的最大乘積
func?cuttingRope(n?int)?int?{
????if?n?==?2?{
????????return?1
????}
????if?n?==?3?{
????????return?2
????}
????rest?:=?0
????last?:=?0
????if?n%3?==?0?{
????????rest?=?n
????????last?=?1
????}?else?if?n%3?==?1?{
????????rest?=?n?-?4
????????last?=?4
????}?else?{
????????rest?=?n?-?2
????????last?=?2
????}
????return?(power(3,?rest/3)?*?last)?%?mod
}
func?main()?{
????n?:=?10
????result?:=?cuttingRope(n)
????fmt.Println("Result:",?result)
}
rust完整代碼如下：
const?MOD:?i32?=?1_000_000_007;
fn?power(x:?i32,?n:?i32)?->?i32?{
????let?mut?ans:?i64?=?1;
????let?mut?x:?i64?=?x?as?i64;
????let?mut?n:?i64?=?n?as?i64;
????while?n?>?0?{
????????if?n?&?1?==?1?{
????????????ans?=?(ans?*?x)?%?MOD?as?i64;
????????}
????????x?=?(x?*?x)?%?MOD?as?i64;
????????n?>>=?1;
????}
????ans?as?i32
}
fn?cutting_rope(n:?i32)?->?i32?{
????if?n?==?2?{
????????return?1;
????}
????if?n?==?3?{
????????return?2;
????}
????let?rest?=?if?n?%?3?==?0?{?n?}?else?if?n?%?3?==?1?{?n?-?4?}?else?{?n?-?2?};
????let?last?=?if?n?%?3?==?0?{?1?}?else?if?n?%?3?==?1?{?4?}?else?{?2?};
????((power(3,?rest?/?3)?as?i64?*?last?as?i64)?%?MOD?as?i64)?as?i32
}
fn?main()?{
????let?n?=?10;
????let?result?=?cutting_rope(n);
????println!("Result:?{}",?result);
}
c++代碼如下：
using?namespace?std;
const?int?mod?=?1000000007;
//?power計算x的n次方，取mod后的結(jié)果
long?long?power(long?long?x,?int?n)?{
????long?long?ans?=?1;
????while?(n?>?0)?{
????????if?((n?&?1)?==?1)?{
????????????ans?=?(ans?*?x)?%?mod;
????????}
????????x?=?(x?*?x)?%?mod;
????????n?>>=?1;
????}
????return?ans;
}
//?cuttingRope根據(jù)觀察得到的規(guī)律計算繩子的最大乘積
int?cuttingRope(int?n)?{
????if?(n?==?2)?{
????????return?1;
????}
????if?(n?==?3)?{
????????return?2;
????}
????int?rest?=?0,?last?=?0;
????if?(n?%?3?==?0)?{
????????rest?=?n;
????????last?=?1;
????}
????else?if?(n?%?3?==?1)?{
????????rest?=?n?-?4;
????????last?=?4;
????}
????else?{
????????rest?=?n?-?2;
????????last?=?2;
????}
????return?(int)((power(3,?rest?/?3)?*?last)?%?mod);
}
int?main()?{
????int?n?=?10;
????int?result?=?cuttingRope(n);
????cout?<<?"Result:?"?<<?result?<<?endl;
????return?0;
}
c完整代碼如下：
const?int?mod?=?1000000007;
//?power計算x的n次方，取mod后的結(jié)果
long?long?power(long?long?x,?int?n)?{
????long?long?ans?=?1;
????while?(n?>?0)?{
????????if?((n?&?1)?==?1)?{
????????????ans?=?(ans?*?x)?%?mod;
????????}
????????x?=?(x?*?x)?%?mod;
????????n?>>=?1;
????}
????return?ans;
}
//?cuttingRope根據(jù)觀察得到的規(guī)律計算繩子的最大乘積
int?cuttingRope(int?n)?{
????if?(n?==?2)?{
????????return?1;
????}
????if?(n?==?3)?{
????????return?2;
????}
????int?rest?=?0,?last?=?0;
????if?(n?%?3?==?0)?{
????????rest?=?n;
????????last?=?1;
????}
????else?if?(n?%?3?==?1)?{
????????rest?=?n?-?4;
????????last?=?4;
????}
????else?{
????????rest?=?n?-?2;
????????last?=?2;
????}
????return?(int)((power(3,?rest?/?3)?*?last)?%?mod);
}
int?main()?{
????int?n?=?10;
????int?result?=?cuttingRope(n);
????printf("Result:?%d\n",?result);
????return?0;
}
