數(shù)學方面，今天是同濟書上也是一種最簡單的常微分方程的解法，當然也是一種特殊的方程形式，之后再聊的所有常微分方程的解法當然從原理上也不難，但是要花力氣去記，所以自然沒有前三種簡單。

越是簡單的類型越少見就是咯，不過《高數(shù)》涉及的類型都是相對簡單的類型，當然，既然工科都用這本書，說明，對于基礎(chǔ)階段的大多數(shù)題目，這點內(nèi)容就夠了，不過很好奇，物理專業(yè)也學的是高數(shù)嗎？

經(jīng)濟學方面，高書進入一個新的大話題——彈性，看了看篇幅，這周最后三天就過完這一節(jié)就好了；然后我們繼續(xù)聊曼昆書上第二個經(jīng)濟學原理的內(nèi)容，曼昆的書，很有很有意思，對現(xiàn)實許多事情的理解很有啟發(fā)性。

好了，學習開始咯！

part 1 同濟《高等數(shù)學》常微分方程部分

前兩天，我們聊了最簡單也最特別的前兩種微分方程的解法，今天來聊另一種最簡單也最特別的微分方程的解法——齊次方程的解法，在此之前我們先復(fù)習一下之前學過的知識——

微分方程的基本概念——

微分方程——含有一個函數(shù)不同階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程，就是微分方程。

常微分方程——一元函數(shù)構(gòu)成的微分方程。

偏微分方程——多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的微分方程。

全微分方程——等式左端是一個多元函數(shù)的全微分，右端是零的形式——又叫做恰當方程，一般是《常微》教材介紹的第一種類型的常微分方程。

微分方程的解——一個滿足等式的函數(shù)。

我們之前介紹了兩種方法對應(yīng)兩種類型的微分方程——

1. 直接法——直接可以用不定積分解決的常微分方程的形式，不過這種類型的題目，把不定積分那一章學好就可以了，一般常微分方程教材不會作多贅述；

2. 分離變量的方法——顧名思義，就是說，我們可以把所有的含x或者dx的項移到等式一邊，把所有y和dy移到另外一邊，而且這里面，dx和dy的關(guān)系一定是相除的關(guān)系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起積分就好。

今天聊第三種特別且簡單的常微分方程的類型——齊次方程；

注意——

1. 這種類型的微分方程依然是常微分方程中比較特別的類型，有對應(yīng)的特定的方法；

2. 在常微分方程的課程中，還有一個不同的概念叫做，齊次的一階線性微分方程（簡稱“齊次方程”），是在研究一階線性方程中，比較簡單且基礎(chǔ)的一種，大多數(shù)的數(shù)學教材都按照從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的順序，所以很快我們就會介紹到，然后就是一大堆常數(shù)變易法的公式要背了——千萬不要混淆哦！

齊次方程

定義一——形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函數(shù)f（x，y）為它的變量x和y的零次齊次函數(shù)，即滿足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），則稱這個方程為齊次方程。

定義二——如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，滿足P（x，y）與Q（x，y）都是x和y的同次齊次函數(shù)，則稱這個方程為齊次方程

齊次函數(shù)——函數(shù)P（x，y）滿足P（tx，ty）=t^mP（x，y），稱P（x，y）為x和y的m次齊次函數(shù)。

易證明——

1. 定義一——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=g（x/y）；

2. 定義二——P（x/y，1）/Q（x/y，1）=P（x*（1/y），y*（1/y））/Q（x*（1/y），y*（1/y））=（1/y）^mP（x，y）/（1/y）^mQ（x，y）=P（x，y）/Q（x，y），

   dy/dx=-P（x，y）/Q（x，y）=-P（x/y，1）/Q（x/y，1）=g（x/y）。

齊次方程

定義三——形如dy/dx=g（x/y）的微分方方程為齊次方程。

方法——變量替換法——令y=ux，u=y/x，是一個關(guān)于x的函數(shù)。

例子——解方程dy/dx=x+y/x-y。

1. 令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；

2. 由函數(shù)乘法求導(dǎo)法則知：u求導(dǎo)為u'=du/dx，x'=1；

3. 則左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；

4. 左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回歸到變量分離的類型；

5. [（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；

6. 兩邊積分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C；

7. 將u=y/x代入即可。

本種類型題目難點依然在于積分這一步，常用積分要記在腦子里。這題直接用到的是前面不定積分部分做過題目的結(jié)論。

part 2.1?經(jīng)濟學概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學》第二章第五節(jié)：彈性——

稍微開個頭第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來說，只要兩個經(jīng)濟變量之間存在函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量變化的反應(yīng)敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動比例/自變量的變動比例。

彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動值。

弧彈性公式——ΔX趨于0時，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

本書討論需求的價格彈性，明天繼續(xù)。

part 2.2?經(jīng)濟學概念——曼昆

我們來逐一介紹曼昆《經(jīng)濟學原理》上的原理，曼昆的經(jīng)濟學的十條原理第二條：

the cost of sth（something）is what you give up to get it.一件事物的成本是你為了獲得它而放棄的事物——曼昆說明真正的cost成本往往不易察覺，而且容易誤解，以上大學的成本為例：

1. 習慣上會把學費、書本費、住宿費、伙食費，等等都算進去，然而，即使不上大學，你也要吃飯要有地方住，所以住宿費、伙食費實際上不是上大學的成本；

2. 容易被忽略的實際上的最大的成本是上大學所付出的時間，這些時間如果拿去工作可以做許多事情，引出了機會成本的概念——

3. 我們考慮事物的可能性，如果你做出了一個選擇，去做或者不做某事，都等于放棄了某些其他的可能性，這些放棄了的可能性所包含的價值就是機會成本，比如對于職業(yè)運動員而言，去上大學等于大筆錢要打水漂，機會成本太大。

依然是對理性思維訓(xùn)練很好的素材。

明天繼續(xù)！