在平面和立體幾何中， 數(shù)量積被定義為兩個向量的長度的乘積乘以夾角的余弦。 數(shù)量積的性質(zhì)主要滿足交換律和分配律。?

數(shù)量積有沒有幾何含義？ 沒有。 它既不代表一個長度， 也不代表一個面積。?

那么為什么學(xué)習(xí)數(shù)量積？ 以下解答這個問題。?

平面和立體幾何的理論向更高維度發(fā)展， 就成為線性代數(shù)。 在線性代數(shù)中， 類似數(shù)量積的概念叫做內(nèi)積。 平面和立體幾何因?yàn)槠渚S度較低， 可以方便的在現(xiàn)實(shí)世界中具象化呈現(xiàn)， 因此常常作為線性代數(shù)的入門基礎(chǔ)被傳授。學(xué)習(xí)數(shù)量積其實(shí)是學(xué)習(xí)一種特殊的， 較為簡單直觀的內(nèi)積。?

內(nèi)積作為一種數(shù)學(xué)工具， 可以用來發(fā)展其他很多重要的線性代數(shù)的概念和理論。 更可貴的是， 內(nèi)積往往可以被方便地計(jì)算得出具體值。 這樣， 一邊尋找捷徑計(jì)算出內(nèi)積， 一邊巧妙利用內(nèi)積求的其他更具現(xiàn)實(shí)意義的結(jié)論， 就成了線性代數(shù)的日常工作之一。 內(nèi)積就此因?yàn)樗猩蠁⑾碌年P(guān)鍵地位， 成為了教學(xué)的優(yōu)先。 按照參考視頻中的說法， 內(nèi)積并不是某個人發(fā)明的， 而是數(shù)學(xué)家群體在實(shí)踐中逐漸形成的共識： 內(nèi)積是線性代數(shù)中一個特別好用的概念工具。?

視頻中指出， 內(nèi)積的其中一個基礎(chǔ)的應(yīng)用， 是定義“長度”的概念。 既然向量與自身的數(shù)量積等于向量長度的平方， 那么向量長度自然可以被定義為向量自身數(shù)量積的開平方。 長度的定義在三維世界中顯得脫褲子放屁， 但是在更高維度宇宙中， 當(dāng)三維的尺子無法施行測量的時候， 就變得意義非凡了。?

視頻指出， 數(shù)量積作為一種運(yùn)算等價于三個性質(zhì)的綜合： 交換律commutativity， 分配律distributivity， 和特定的非負(fù)非零性即非零向量與自身的數(shù)量積總是大于零。 額外地， 視頻最后指出， 只要一種運(yùn)算滿足數(shù)量積的三種性質(zhì)， 那么就可以用類似數(shù)量積的方法來操作。 但是最后這一點(diǎn)我還沒真正理解。?

參考自MathTheBeautiful@Youtube.com(關(guān)鍵詞"Why Inner Products"):

https://www.youtube.com/watch?v=Ww_aQqWZhz8

https://www.youtube.com/watch?v=aK12VQ_8CZI

https://www.youtube.com/watch?v=bEqUvZQapn8

https://www.youtube.com/watch?v=ZXOzKHq3-YA