這個小文章，我們僅僅從發(fā)射天線的角度來分析，通過前面四個小文章的分析，從接收天線的角度來分析，原理是一樣的。

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錄制的兩個小視頻：

波束賦形5_嗶哩嗶哩_bilibili ? ?天線間距半波長

波束賦形6_嗶哩嗶哩_bilibili ? ?角域空間

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如果我們指定了一個方向，則在各個方向上的接收天線，能收到的能量滿足：

其中：

表示我們想指向的方向，? ?是一個變的量，遍歷整個? 到? 的這樣的一圈。
為了簡單起見，我們不妨設(shè) ，則：

為了只有一個指定的波束方向(這里應(yīng)該理解為數(shù)學(xué)上的極大值點，應(yīng)該保證只有一個波束極大值點)，則 應(yīng)該介于 之間，即? 在 之間，所以

我們來畫圖感受一下，如果

那么

則，我們對公式 1 ，按照上式來畫出幅度：

在? 之間只有一個最高點，在這之外，極大值點開始逐漸增大，即在另外一些方向上，也有較大的能量輻射到那個方向上。

所以，當(dāng)? 從 0.5 逐漸增大 1 的過程中，可以看到多出來的指向逐漸顯現(xiàn)出來：

角域空間

假設(shè)有 M 根發(fā)射天線，則每個發(fā)射角，我們都可以對應(yīng)一個向量：

我們知道，上面這個是一個 M 維的向量，可以認(rèn)為是 M 維空間上的一個向量，由于角度的選取有無窮多個，則可以產(chǎn)生無窮多個 向量，既然是 M 維空間，我們應(yīng)該可以找到 M 個正交向量，構(gòu)成一個基，其它所有向量都可以用這個基中的 M 個向量線性組合來生成。

那，問題是，我們能保證找到 M 個正交向量嗎？當(dāng)然，如果沒有任何限制，那 M 維空間一定有 M 個正交向量構(gòu)成一個基，但是，如果我們對正交向量加了約束條件，不能任意選擇，那就未必能找到。

我們加的條件是，形如公式 (3) 的向量， ?取不同的值，就得到不同的向量。在這樣的條件下，兩個向量正交，需要兩個 ? 的取值，相差非 0 整數(shù)倍的 . 可以證明（見附錄），這樣的兩個向量是正交的。

如果第一個向量，我們?nèi)?br>

第二個向量取

依此類推，最后一個向量取

所以， 取值范圍要大于等于 ，否則，就拿不到 M 個正交向量。

從公式 (2) 可以看到， 的范圍寬度為

那么：

則：

綜合以上的推導(dǎo)，則：

而且 M 個正交向量分別為：

這樣得到了由 M 個正交向量組成的一個基。

如果

那么就不能構(gòu)成 M 維空間，就會變成 M 維空間的子空間（這里有點抽象，我也不知道該怎么說得能更清楚），從“指哪打哪” 的角度來理解，就不能做到很精確的 "指哪打哪".

修改程序中變量 d_vs_lambda 的值，從 0.5 逐漸減小，看是什么效果：

在 M 維空間中，如果找不到 M 個滿足上面條件的正交向量來構(gòu)成一個基，那么，就是在空間“指哪打哪”的精度的損失，這一點在視頻中有比較充分的說明。

附錄：證明基正交

可以認(rèn)為是在一個周期內(nèi)求和，結(jié)果就是 0.