? ? ? ? ?古典變分法雖然強(qiáng)大，但是也有它的局限性，它要求容許函數(shù)是可以任意取的，但實際上容許函數(shù)往往是有限定的，就好比一元函數(shù)求極值一樣在給定的區(qū)間內(nèi)求其最大或最小，往往在邊界取得而非極值點(diǎn)處。對于此類問題，就需要利用龐特里亞金極小值（極大）原理解決，下面形式上的給出原理的推導(dǎo)，并利用它建立一個生產(chǎn)-貯存-銷售模型。

考察如下泛函自由，自由

構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)

假設(shè)是使取極小值的最優(yōu)控制，由約束條件可以得到最優(yōu)控制條件下的狀態(tài)方程?

對于微擾?泛函變動到

且有

現(xiàn)在選定滿足方程

以及終端的橫截條件

那么可以猜測成立，這就是極小原理，我們可以對對控制函數(shù)分段以及積分分段處理去證明它，這里就不再證明了，極大情況相同。

此不等式的意思就是說哈密爾頓函數(shù)關(guān)于控制在最優(yōu)控制的情況下取得極小。

下面通過極小(極大)原理來建立（瞎扯）一個生產(chǎn)—貯存—銷售的最優(yōu)模型。

? ? ? ?我們假設(shè)貯存函數(shù)為,生產(chǎn)速率函數(shù)為,銷售速率函數(shù)為,那么它們之間滿足

，其次假定初始情況下貯存量，那么如何選取生產(chǎn)速率函數(shù)，使得總利潤最大呢？為了分析的方便我們來簡化一下銷售速率函數(shù)，一般情況下銷售的大小和生產(chǎn)的大小成正相關(guān)，與貯存成負(fù)相關(guān)由此我們假定。

其次在時間段內(nèi)產(chǎn)品的銷售價格是不變的記為，同時貯存會產(chǎn)生貯存費(fèi)用，記單位產(chǎn)品產(chǎn)生的貯存費(fèi)用為，生產(chǎn)原材料的成本也是固定的為，并且實際生產(chǎn)過程中生產(chǎn)速率具有一定的約束，不可能無限增加即，

，那么此時間段內(nèi)總利潤函數(shù)可以表示為

因此問題歸結(jié)為在約束條件下求泛函

的最大值

構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：

橫截條件：

由此得到

于是最大利潤下的生產(chǎn)速率函數(shù)、貯存函數(shù)的選取應(yīng)該滿足

上述假設(shè)中可以發(fā)現(xiàn)，極值函數(shù)剛好取在某一個邊界上，如果假設(shè)銷售速率函數(shù)與貯存量有關(guān)，即此時最大利潤可以表示為

以及約束條件

構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)

橫截條件:

解得,同時假定

得到利潤最大時候的生產(chǎn)速率函數(shù)和貯存函數(shù)

如果,那么利潤最大時的生產(chǎn)速率函數(shù)和貯存函數(shù)則為

當(dāng)然，以上都是比較簡單的理想化的假設(shè)，以至于能夠直接解出微分方程。

?