旋轉(zhuǎn)矩陣的應(yīng)用范圍比較廣，是姿態(tài)變換，坐標變換等的基礎(chǔ)。本篇先介紹旋轉(zhuǎn)矩陣的推導(dǎo)過程與助記方法。

平面二維旋轉(zhuǎn)

如下圖，XY坐標系中，向量OP旋轉(zhuǎn)β角度到了OP'的位置：

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，可以列出向量OP與OP'的坐標表示形式：

對比上面?zhèn)€兩個式子，將第2個式子展開：

用矩陣形式重新表示為：

這就是二維旋轉(zhuǎn)的基本形式，中間的矩陣即二維旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣，坐標中的某一向量左乘該矩陣后，即得到這個向量旋轉(zhuǎn)β角后的坐標。

三維旋轉(zhuǎn)

三維旋轉(zhuǎn)可借助二維旋轉(zhuǎn)來理解，由于三維空間中可以任意軸旋轉(zhuǎn)，為方便分析與使用，只考慮繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)。

繞Z軸

參照上面的圖，添加一個Z軸，則上面的二維旋轉(zhuǎn)實際上就是繞Z軸的三維旋轉(zhuǎn)

照搬上面的推導(dǎo)公式，并添加Z坐標的變換關(guān)系(實際是沒有變)，然后改寫成矩陣形式，紅色方框即為繞Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

繞Y軸

繞Y軸旋轉(zhuǎn)同理，這里直接改變坐標軸的符號表示，注意坐標順序要符合右手系，我這里用顏色區(qū)分了不同的軸。最終的矩陣形式要進一步改寫成XYZ的順序。紅色方框即為繞Y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

繞X軸

參照繞Y軸的推導(dǎo)，可以得到繞X軸的結(jié)果。紅色方框即為繞X軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

助記

對于單位矩陣，繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，哪一列不用變，然后將二維旋轉(zhuǎn)矩陣替換對應(yīng)的4個位置，注意，繞Y的旋轉(zhuǎn)矩陣看起來與另外兩個不同，它的-sinβ是在左下！

注意事項

反向旋轉(zhuǎn)

如果是反向旋轉(zhuǎn)一個角度，推導(dǎo)過程類似：

最終得到的旋轉(zhuǎn)矩陣其實是正向旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣，由于這個矩陣是正交陣，所以逆矩陣就是轉(zhuǎn)置矩陣。

書寫形式

上面的向量的坐標都是按照列的形式書寫，如果是換成行的形式表示，則旋轉(zhuǎn)的矩陣形式被轉(zhuǎn)置了一下，同時矩陣在行向量的右邊進行相乘。