【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)28】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
數(shù)列l(wèi)im n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；
收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個(gè)無(wú)窮?。?/p>
收斂數(shù)列必有界；
有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮?。?/p>
有界數(shù)列乘以無(wú)窮小的積還是無(wú)窮??；
設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；
設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；
設(shè)lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.
定比分點(diǎn)：在線段P1P2上求一點(diǎn)P，使得由P分成的兩個(gè)有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點(diǎn)，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點(diǎn)公式。
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'；
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試求下列數(shù)列{an}的極限lim an：
a.an=[2（sin n）^2+（cosn）^2]^（1/n）
b.an=（n+1+ncos n）^[1/（2n+nsin n）]
解：
a——
2（sin?n）^2+（cosn）^2=（sin?n）^2+1；
0<=（sin?n）^2<=1，則1<=（sin?n）^2+1<=2；
1<=an<=2^（1/n）；
lim?2^（1/n）=1；
lim?an=1.
b——
1<n+1+ncos n<=1+2n；
n<=2n+nsin?n<=3n；
1<an<=（1+2n）^（1/n）=n^（1/n）*（2+1/n）^（1/n）<n^（1/n）*3^（1/n）；
lim?n^（1/n）*3^（1/n）=limn^（1/n）*lim 3^（1/n）=1*1=1；
lim?an=1.
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
證明：以平行四邊形的兩條對(duì)角線為鄰邊組成的另一平行四邊形的面積等于原來(lái)平行四邊形面積的2倍。
證：
設(shè)原平行四邊形的兩個(gè)鄰邊上的向量為a，b，則該平行四邊形的面積為|axb|.它的兩條對(duì)角線上的向量分別為a+b及a-b；
以a+b及a-b為鄰邊的平行四邊形的面積為|（a+b）x（a-b）|；
（a+b）x（a-b）
=axa-axb+bxa-bxb；
axa=0，bxb=0，bxa=-axb，所以（a+b）x（a-b）=-2axb=-2（axb）；
|（a+b）x（a-b）|=2|axb|，證畢。
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：兩個(gè)n級(jí)斜對(duì)稱矩陣的乘積是對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它們可交換。
證：
必要性——
已知，兩個(gè)n級(jí)斜對(duì)稱矩陣A與B的乘積是對(duì)稱矩陣，即A'=-A，B'=-B，（AB）'=AB；
（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA；
由1,2：AB=BA，即A與B可交換。
充分性——
已知，兩個(gè)n級(jí)斜對(duì)稱矩陣A與B可交換，即A'=-A，B'=-B，且AB=BA；
則（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA=AB，即矩陣A與B的乘積是對(duì)稱矩陣。
到這里！
