本文章內(nèi)容算是個(gè)人讀書筆記吧，不標(biāo)原創(chuàng)

相信每一個(gè)學(xué)過數(shù)列的小伙伴都知道斐波那契數(shù)列，應(yīng)該還有不少知道這個(gè)數(shù)列有“兔子數(shù)列”的愛稱。

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這個(gè)數(shù)列的creator是著名的意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）

有趣的是，斐波那契僅是他的外號(hào)。萊昂納多·斐波那契其父有類似于“甫”（我國(guó)古代男子的美稱，比如詩(shī)圣杜甫，現(xiàn)在也被人在使用著）一般的外號(hào)Bonacci（意即“好、自然”或“簡(jiǎn)單”），于是乎就有了Fibonacci=filius Bonacci（Bonacci之子）這樣的外號(hào)，后來發(fā)現(xiàn)本名萊昂納多與當(dāng)時(shí)的大佬萊昂納多·達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci）撞號(hào)了，于是外號(hào)“鳩占鵲巢”，被后人沿用至今，其本名倒?jié)u淡出世人視野了（或者被叫做“比薩的萊昂納多”，因?yàn)樗婕疄楸人_），因此萊昂納多·斐波那契的很多結(jié)論都是用斐波那契命名的，其他數(shù)學(xué)家如高斯有如“數(shù)學(xué)王子”這樣的外號(hào)，斐波那契本身就是外號(hào)，不可不謂之一奇了。

這位大佬在27歲時(shí)寫了一本大名鼎鼎的書——《計(jì)算之書》（Liber Abaci），這本書在當(dāng)時(shí)經(jīng)濟(jì)日益繁榮的意大利（用術(shù)語(yǔ)來說，就是資本主義萌芽時(shí)期）近乎是應(yīng)運(yùn)而生，因?yàn)樗饕芯咳粘栴}的數(shù)學(xué)方法及其在商貿(mào)、度量稱衡、貨幣換算、單利算利計(jì)算等各種場(chǎng)合的應(yīng)用，簡(jiǎn)直是商人的狂喜之書！應(yīng)該說，這本書對(duì)當(dāng)時(shí)的商貿(mào)活動(dòng)和后世的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很大影響。

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這本書我們后面還要提到，不過你現(xiàn)在只需要知道這本書的第十二章有一個(gè)論兔子問題——“若一對(duì)成年兔子每個(gè)月恰好生下一對(duì)小兔子(一雌一雄)。在年初時(shí)，只有一對(duì)小兔子。在第一個(gè)月結(jié)束時(shí)，他們成長(zhǎng)為成年兔子，并且第二個(gè)月結(jié)束時(shí)，這對(duì)成年兔子將生下一對(duì)小兔子。這種成長(zhǎng)與繁殖的過程會(huì)一直持續(xù)下去，并假設(shè)生下的小兔子都不會(huì)死，那么一年之后共可有多少對(duì)小兔子？”

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當(dāng)然我們可以抽象出來一個(gè)結(jié)論——“第n個(gè)月的兔子總數(shù)=第(n-1)個(gè)月的兔子總數(shù)+第(n-2)個(gè)月的兔子總數(shù)”

再轉(zhuǎn)化一下數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就是斐波那契數(shù)列了——

順便用特征根方程的方法可以求出其通項(xiàng)

兔子生了一窩一窩，這個(gè)類似于指數(shù)函數(shù)的數(shù)列通項(xiàng)也會(huì)變得很大很大，最后的結(jié)果就是——野兔多得成災(zāi)！等300年后人們挖掘出《計(jì)算之書》這一中世紀(jì)寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)時(shí)，頓時(shí)覺得其中的兔子問題又震驚又好玩，無(wú)怪乎這個(gè)小知識(shí)廣為流傳了，所以我們可以給斐波那契一個(gè)外號(hào)——“點(diǎn)兔成金斐波那契”。

當(dāng)然，以上都是玩笑話，斐波那契數(shù)列還是很強(qiáng)大的，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，無(wú)怪乎專門研究斐波那契數(shù)列的刊物《斐波納契數(shù)列季刊》會(huì)出版了。

除了《達(dá)芬奇密碼》里面索菲的祖父把打亂了斐波那契數(shù)列“13—3—2—21—1—1—8—5”（正確順序是1，1，2，3，5，8，13，21）寫在了盧浮宮的地板上，吸引了一波關(guān)注外，我們的日常生活也經(jīng)?？吹竭@個(gè)人畜無(wú)害又奇妙無(wú)比的數(shù)列。

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上面的曲線又稱“生命曲線”，在貝殼、臺(tái)風(fēng)、向日葵等中都有出現(xiàn)。

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還有滑稽版的

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究其原因，除了感嘆大自然的神奇之外，還得感嘆一個(gè)黃金比例φ——連續(xù)斐波那契項(xiàng)的比率準(zhǔn)確值是 (√5 + 1)/2 (約1.618034)，通常用希臘字母Phi(大寫的希臘字母Φ)表示。Phi的小數(shù)部分用小寫的phi(希臘字母:φ)表示, 準(zhǔn)確值為 (√5 - 1)/2 , 約等于0.618034。

拿植物來說，這個(gè)φ與許多植物種子中螺旋線的數(shù)量以及葉序的排列更為密切，所以我們也會(huì)在很多種的植物中看到φ的身影。

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科學(xué)家已經(jīng)證明：在新種子(或葉子、花瓣等)破壁而出之前，這樣做0.618圈旋轉(zhuǎn)就會(huì)產(chǎn)生最佳的種子布局

那么植物是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)美麗且實(shí)用的數(shù)字φ呢？顯然不是像斐波那契那樣通過解數(shù)學(xué)計(jì)算得出的。而是植物在億萬(wàn)年進(jìn)化的過程中逐步演化停留在最合適自己生存的數(shù)字上。斐波那契所留下的遺產(chǎn)不僅閃爍在每株植物的花蕾之上，也是數(shù)學(xué)世界所綻放最耀眼魅力光芒中的一束。

斐波那契數(shù)列我們就介紹到這里，下面我們?cè)賮碚務(wù)劇队?jì)算之書》吧。

在地理大發(fā)現(xiàn)、全球化時(shí)代到來前，我們知道世界各地的聯(lián)系是很弱的，數(shù)學(xué)的傳遞任務(wù)一般由商人肩負(fù)，因此“商人的數(shù)學(xué)”崛起，《計(jì)算之書》就是這樣誕生的。

斐波那契的父親在當(dāng)時(shí)被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點(diǎn)于阿爾及利亞地區(qū)，所以斐波那契在北非度過了他的童年，接受過摩爾人的教育，在巴爾巴里（阿爾及利亞）游歷甚廣，后來被派往埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯出差。公元1200年，他回到比薩后，利用在旅行中所學(xué)到的知識(shí)撰寫了《計(jì)算之書》(出版于1202年)。

應(yīng)該說，斐波那契溝通了中亞和西歐的數(shù)學(xué)聯(lián)系，因?yàn)樗言谶@本書里面把印度—阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)引入到了當(dāng)時(shí)的拉丁語(yǔ)世界中，其中尤其是十進(jìn)制的引入，大大促進(jìn)了商人們的實(shí)際計(jì)算，順便也促進(jìn)了代數(shù)的發(fā)展——

隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，商人階層的崛起，越來越多的人發(fā)現(xiàn)他們需要計(jì)算能力。由于代數(shù)被認(rèn)為是一種廣義的算術(shù)，所以學(xué)者們?cè)谏钊胙芯繒r(shí)，一開始研究算術(shù)，再轉(zhuǎn)向研究代數(shù)是很自然的事。實(shí)際上斐波那契的《計(jì)算之書》算是為代數(shù)學(xué)開了一扇窗。

不過需要注意的是，斐波那契的《計(jì)算之書》，就像啟發(fā)它的阿拉伯代數(shù)一樣，內(nèi)容完全是修辭性的文字，方程式和運(yùn)算過程完全用文字表達(dá)，尚只可見代數(shù)的雛形。

但后面的三個(gè)世紀(jì)里，意大利數(shù)學(xué)家發(fā)明了單詞縮寫法（比如加法“plus”為“p”和加號(hào)已經(jīng)很接近了）后來又隨著處理二次方程和一次方程越來越多，意大利代數(shù)學(xué)家開始用用cosa這個(gè)詞，意思是“事物（thing）”，來表示方程式中未知的變量。當(dāng)其他國(guó)家的學(xué)者參與進(jìn)來時(shí)，他們使用了coss（未知數(shù)），結(jié)果，他們有時(shí)被稱為"未知數(shù)計(jì)算家（cossists）"，而代數(shù)有時(shí)被稱為“解未知物之術(shù)”（the cossic art），代數(shù)的大門前，叩門人的腳步聲已經(jīng)越來越近了。

不過就算“未知數(shù)計(jì)算家”遍布?xì)W洲各地，特別擅長(zhǎng)發(fā)明符號(hào)，用不同的符號(hào)來代表未知的量、未知的平方等等（一些人用特殊符號(hào)來表示代數(shù)運(yùn)算和開方，其他人只是簡(jiǎn)單地把關(guān)鍵詞縮寫出來。）他們并沒有用符號(hào)來表示未知數(shù)以外的數(shù)（即沒有參數(shù)），這種量都是數(shù)字的。所以，他們可以列出像x2＋10x＝39這樣的式子，卻不能寫出類似ax2＋bx＝c的式子，他們會(huì)解這類方程，但并不能抽象出一般情況，所以他們一般用文字表述方程的解法，并加上許多例子為例證。

有趣的是，這個(gè)時(shí)期有一種類似于解方程競(jìng)賽的東西，當(dāng)時(shí)富豪愿意贊助學(xué)者，只需證明自己比其他學(xué)者會(huì)解更多方程和能更快解方程就行——在物質(zhì)的刺激下，代數(shù)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家探究著三次方程的解法，有名的是希皮·奧內(nèi)·德爾費(fèi)羅（Scipione del Ferro）和塔塔利亞（Tartaglia），他們發(fā)現(xiàn)了某種解法，并靠壟斷來獲利（當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)風(fēng)氣就是這么復(fù)雜，促進(jìn)個(gè)人發(fā)明但不能促進(jìn)成果推廣）

希皮·奧內(nèi)·德爾費(fèi)羅和塔塔利亞都發(fā)現(xiàn)了形如“x3+px=q”方程的解法（p，q均為正數(shù)），其中希皮·奧內(nèi)·德爾費(fèi)羅一直死守，直到去世前才傳給學(xué)生菲奧爾（Fior）。沉不住氣的菲奧爾在聽說塔塔利亞也已經(jīng)得到三次方程的求根公式后，并不相信，在1535年發(fā)起了對(duì)塔塔利亞的挑戰(zhàn)。

由于菲奧爾是繼承而沒有創(chuàng)新，但塔塔利亞是自己摸索出來的，所以在實(shí)際比賽中上演了“學(xué)二代”輸給了“學(xué)草根”的經(jīng)典劇情——塔塔利亞因?yàn)樵谝?guī)定時(shí)間里解出了更多的形如“x3+px=q”方程而大獲全勝，還謀到了一個(gè)數(shù)學(xué)教授職位，完成了“學(xué)草根”的逆襲。

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這場(chǎng)大賽過后，很多人都知道了三次方程是可解的，但是并不知道方法或公式，塔塔利亞選擇保守這個(gè)秘密，把方法繼續(xù)壟斷了下去

不過，三次方程的壟斷格局還是被吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）打破了（算是一場(chǎng)有趣的學(xué)術(shù)糾紛）?？栠_(dá)諾向承諾塔塔利亞永遠(yuǎn)不會(huì)透露求解方法，于是說服塔塔利亞與他分享這個(gè)秘密。（試了很多方法以后，卡爾達(dá)諾終于從塔塔利亞那里得到了一首25行詩(shī)（寫詩(shī)是當(dāng)時(shí)的流行，貴族的藝術(shù)嘛）——此詩(shī)晦澀難懂，但的確包含了三次方程的求根公式，最終成功被卡爾達(dá)諾破譯?？栠_(dá)諾知道塔塔利亞的求解某些三次方程的方法后，嘗試推廣到求解任何三次方程式的方法并做出了一定成績(jī)，于是他覺得自己已經(jīng)做出了自己的實(shí)際的貢獻(xiàn)，于是決定不再保密承諾，便寫了一本名為《大衍術(shù)》（Ars Magna）的書（"偉大的藝術(shù)"），書中（用拉丁文撰寫）給出了關(guān)于如何求解三次方程的完整的幾何證明，還包括了他的學(xué)生洛多維科·費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的求解一般四次方程式的方法。

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盡管他承認(rèn)塔塔利亞的貢獻(xiàn)，但塔塔利亞依然被他違背諾言行為激怒了。他公開抗議，但最后無(wú)能為力。（后來又發(fā)生了大型shibi事件，感興趣的可以自己去查查，這里就不吃這個(gè)老瓜了。）事實(shí)上，求解三次方程式的公式今天仍然被稱為“卡爾達(dá)諾公式"（或者“卡丹公式”）。

盡管卡爾達(dá)諾之舉多為人稱之不義，但他畢竟還是打破了求解三次方程式的數(shù)學(xué)之墻，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展

（對(duì)此達(dá)納·麥肯齊評(píng)價(jià)說：

“數(shù)學(xué)的繁榮來自公開的交流。

僅僅發(fā)現(xiàn)美洲新大陸是不夠的，

發(fā)現(xiàn)者還必須讓這一發(fā)現(xiàn)讓世人所知。

只有卡爾達(dá)諾走出最后這一步，

并因此獲得這一光榮。”）

當(dāng)然，在當(dāng)時(shí)的書中寫方程依然是這樣寫的——Cubus.aeq. 15.cos.p.4（即“一個(gè)立方等于15個(gè)物加上4”，即方程式x3=15x+4）

關(guān)于《大衍術(shù)》中方程怎么解的，又引出了什么問題，就留到下期了，賣個(gè)關(guān)子，數(shù)學(xué)更有趣嘛

謝謝你觀看此篇文章，來個(gè)三連再走吧

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參考文獻(xiàn)：百度詞條——“斐波那契數(shù)列”、“計(jì)算之書”

“神奇的斐波那契數(shù)列之‘斐波那契’數(shù)列的由來”——BY“科普中國(guó)-科學(xué)原理一點(diǎn)通”

“生命曲線與神圣的斐波那契數(shù)列”——BY“百家號(hào)”遇見數(shù)學(xué)

《這才是好讀的數(shù)學(xué)史》——BY[美] 比爾·伯林霍夫、[美] 費(fèi)爾南多·辜維亞