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隨機(jī)過程:

隨機(jī)過程研究的是不同時間點的隨機(jī)變量之間的關(guān)系，下面三個例子的隨機(jī)過程體現(xiàn)了隨機(jī)變量之間的不同的關(guān)系：

(1)? X(t) = t ,? 以概率 1

(2)? ? (X(t) = t , for all t ), 依概率 1/2

? ? ? ? (X(t) = -t , for all t ), 依概率 1/2?

(3)? for each t

另外一種隨機(jī)過程是馬爾科夫隨機(jī)過程, n+1 時刻的概率特性只由 n 時刻的狀態(tài)決定，而與 n 時刻之前的狀態(tài)無關(guān)。

而鞅過程 (Martingale) 是從數(shù)學(xué)期望的角度來看隨機(jī)變量之間的關(guān)系的：

例如：X1,X2,.... 是獨立同分布的隨機(jī)變量，滿足如下的分布：

令?

那么隨機(jī)過程 ? 就是一個鞅過程。

上鞅過程：

上面鞅過程的例子中，如果隨機(jī)變量取值的概率有一點變化，則是上鞅過程：

下鞅過程：

同理，如果鞅過程的例子中，隨機(jī)變量的取值有一點變化，則是下鞅過程：