相控陣列 -- 億點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)小細(xì)節(jié)

2022-07-03 18:06 作者:nyasyamorina 0人讀過(guò) | 我要投稿

前排提醒:? 這個(gè)專欄不是介紹?5G 天線或相控雷達(dá),? 如果想學(xué)習(xí)有關(guān)天線/雷達(dá)相關(guān)的知識(shí)可以出門(mén)右轉(zhuǎn) Wikipedia.? 這個(gè)專欄僅是基于個(gè)人推理后得出的各種胡言亂語(yǔ),? 所以如果有錯(cuò)誤歡迎在評(píng)論里指出.

相控陣列 (Phased Array) 是指由多個(gè)發(fā)射源(天線或音箱等)組成的陣列,? 通過(guò)控制發(fā)射源之間的相位差 (或者說(shuō)時(shí)序),? 可以使原本會(huì)分散在空間里的能量 (電磁波或聲波) 朝特定方向發(fā)射,? 如下圖所示 (圖源自 wiki).

我就不是很懂為什么圖片和分割線之間的空行會(huì)被吞掉,? 但是文字和分割線之間的卻不會(huì),? 阿b能不能整點(diǎn)人性化設(shè)計(jì).

一個(gè)極簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型

在電動(dòng)力學(xué)里,? 可以使用麥克斯韋方程組準(zhǔn)確描述電磁場(chǎng),? 而在某些條件下,? 麥克斯韋方程組可以退化為波動(dòng)方程 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2w%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Dv%5E2%5Cnabla%5E2w$ ,? 同時(shí)波動(dòng)方程也可以描述聲音傳播.? 對(duì)于通用情況,? 波動(dòng)方程就已經(jīng)是最簡(jiǎn)模型了.??

但在這個(gè)專欄討論的情況里,? 波唯一的來(lái)源就是發(fā)射源,? 并且假設(shè)介質(zhì)均勻且不消耗波的能量.? 發(fā)射源的尺寸相對(duì)于整個(gè)輻射范圍來(lái)說(shuō)可以近似地看作一個(gè)點(diǎn).? 并且由于波的傳播速度很快,? 恒定的發(fā)射源周?chē)膱?chǎng)可以看作是由發(fā)射源造成的恒定場(chǎng) (不隨時(shí)間變化)*.? 由上述假設(shè)可以使用一個(gè)位置 p 和強(qiáng)度 A 去描述一個(gè)發(fā)射源,? 那么空間上的場(chǎng)強(qiáng)為? $w(%5Cvec%20r)%3D%5Cfrac%7BA%7D%7B%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p%7C%7C%5E2%7D$ ,? 如下圖所示

但在實(shí)際情況里,? 發(fā)射源不是恒定的,? 大部分發(fā)射源都是以特定頻率 f 進(jìn)行震蕩,? 所以修改發(fā)射源的強(qiáng)度為? $Ae%5E%7Bi(2%5Cpi%20ft%2B%5Cphi)%7D$ ?**,? 其中 ??為源的初始相位.? 因?yàn)椴ㄒ运俣?v 往外傳播,? 所以在距離源 d?處的點(diǎn)實(shí)際上是受到 d/v 時(shí)間前的源影響,? 那么空間上的場(chǎng)應(yīng)為 $w(%5Cvec%20r%2Ct)%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bd%5E2%7De%5E%7Bi(2%5Cpi%20f(t-d%2Fv)%2B%5Cphi)%7D%3B%5C%3Bd%3D%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p%7C%7C$ .? 并且在通常情況下,? 一組發(fā)射源的頻率都是相同的 (至少在短時(shí)內(nèi)),? 那么場(chǎng)里關(guān)于時(shí)間的項(xiàng)可以看作全局相位而被忽略,? 最后得到我們需要的模型: $w(%5Cvec%20r)%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bd%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi-2%5Cpi%20fd)%7D$ ?(這里使用 f 替換了 f/v),? 如下圖所示

這里使用色環(huán)顯示相位:

*:? 由于波只受上一個(gè)時(shí)刻附近的波的影響 (惠更斯原理),? 所以當(dāng)波離開(kāi)發(fā)射源后將不再受到發(fā)射源的影響,? 所以這時(shí)候波可以看作恒定場(chǎng)的某個(gè)局部.

**:? 習(xí)慣上把震蕩源的強(qiáng)度寫(xiě)作? $A%5Csin(2%5Cpi%20ft%2B%5Cphi)$ ,? 這樣會(huì)使場(chǎng)出現(xiàn)零-非零的條紋間隔,? 但實(shí)際上場(chǎng)為零的地方就不代表能量為零?(場(chǎng)的時(shí)間偏導(dǎo)不為零),? 所以把震蕩源寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式可以保證相位為零的時(shí)場(chǎng)不為零,? 并保證了場(chǎng)的線性.

這個(gè)模型是線性的,? 也就是說(shuō)當(dāng)空間里存在多個(gè)源時(shí),? 場(chǎng)是每個(gè)源的線性疊加:?? $w(%5Cvec%20r)%3D%5Csum_k%5Cfrac%7BA_k%7D%7B%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p_k%7C%7C%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi_k-2%5Cpi%20f%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p_k%7C%7C)%7D$ .? 這可以簡(jiǎn)單地從雙縫實(shí)驗(yàn)里體現(xiàn):

可逆性

也就是在幾何光學(xué)里老生常談的光路可逆,? 實(shí)際上在波動(dòng)光學(xué)里某些條件下光仍是可逆的.? 但為了滿足光路可逆需要嚴(yán)格地控制場(chǎng) (包括場(chǎng)的時(shí)間偏導(dǎo)) 上的每個(gè)非零值的點(diǎn),? 這在只有發(fā)射源的情況下是不可實(shí)現(xiàn)的.

盡管如此,? 在只有發(fā)射源的情況下,? 仍然可以通過(guò)相位之間的干涉在一定程度上還原逆向光路:? 在單發(fā)射源的情況下,? 距離發(fā)射源同一半徑的的場(chǎng)是同相位的,? 那么使用一組相同初相的發(fā)射器,? 并放成一個(gè)圓形 (其實(shí)應(yīng)該為球形),? 則在圓心處場(chǎng)強(qiáng)會(huì)出現(xiàn)極大值,?如下圖所示:

因?yàn)閳?chǎng)的線性,? 所以發(fā)射源就算不排列為一個(gè)完整的圓仍可以有類似的結(jié)果:? 下圖是排列為半圓的發(fā)射器,? 在圓心處仍出現(xiàn)了一個(gè)極大值

相控陣列

通過(guò)上面的示例可以看出,? 相控陣列就是控制多個(gè)發(fā)射源的相位,? 讓相位互相干涉使得在特定地方的場(chǎng)強(qiáng)達(dá)到極大值.

為了使模型通用,? 現(xiàn)在考慮以下"正向"情景:? 有一個(gè)發(fā)射源 O,? 并且有兩個(gè)不同位置的接收器 A 和 B,??那么 A 和 B 接收到的場(chǎng)為? $w_A%3D%5Cfrac%7BA_O%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi_O-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D)%7D$ ?和 $w_B%3D%5Cfrac%7BA_O%7D%7Bd_%7BB%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Ctheta_O-2%5Cpi%20fd_%7BB%7D)%7D$ .? A_O, ?_O 表示為發(fā)射源 O 的強(qiáng)度和初相,? d_A 和 d_B 表示 O 到 A 和 B 的距離.? 為了方便,? 記? $A_A%3D%5Cfrac%7BA_O%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7D%3B%5C%3B%5Cphi_A%3D%5Cphi_O-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D$ ,? 那么 A 處的場(chǎng)可以寫(xiě)為? $w_A%3DA_Ae%5E%7Bi%5Cphi_A%7D$ ,? 類似地 B 也有這樣的記法.

然后考慮這個(gè)場(chǎng)景的"逆向"光路:? A, B 兩處有兩個(gè)發(fā)射源,? 而 O 處有接收器.

設(shè)發(fā)射源 A 的強(qiáng)度和初相為? $A'_Ae%5E%7Bi%5Cphi'_A%7D$ ,? 發(fā)射器 B 的為 $A'_Be%5E%7Bi%5Cphi'_B%7D$ ,? 那么接收器 O 處的場(chǎng)為 $w'_O%3D%5Cfrac%7BA'_A%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi'_A-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D)%7D%2B%5Cfrac%7BA'_B%7D%7Bd_%7BB%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi'_B-2%5Cpi%20fd_%7BB%7D)%7D$ ,? 不難知道,? 當(dāng) O 處受到的相位相同時(shí) $%5Cphi'_O%3D%5Cphi'_A-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D%3D%5Cphi'_B-2%5Cpi%20fd_B$ ,? O 處的場(chǎng)強(qiáng)取極大值.? 因?yàn)殛P(guān)于相位的上式有無(wú)限個(gè)解 (一條式子兩個(gè)未知量),? 所以可以取特解? $%5Cphi'_A%3D-%5Cphi_A%3B%5C%3B%5Cphi'_B%3D-%5Cphi_B$ ,? 解得 $%5Cphi'_O%3D-%5Cphi_O$ .? 另外發(fā)射器的強(qiáng)度 $A'_A%2C%5C%2CA'_B$ ?的取值是任意的,? 但當(dāng)取 $A'_A%3D%5Cfrac%7BC%7D%7BA_A%7D%2C%5C%2CA'_B%3D%5Cfrac%7BC%7D%7BA_B%7D$ ?時(shí),? 其中 C 是任意常數(shù),? 那么 A 和 B 在 O 處造成的場(chǎng)強(qiáng)是相等的,? 則有 $A'_O%3D%5Cfrac%7BA'_A%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7D%2B%5Cfrac%7BA'_B%7D%7Bd_B%5E2%7D%3D2%5Cfrac%7BC%7D%7BA_O%7D$ .? 綜合上面的式子,? 則有? $A'_Ae%5E%7Bi%5Cphi'_A%7D%3DC%5Ccdot%20w_A%5E%7B-1%7D$ ,? B 也有類似的結(jié)論.

以上結(jié)論對(duì)多個(gè)發(fā)射源/接收器也適用,? 并且發(fā)射源數(shù)量越多,? 相位干涉效果越明顯.? 下面是使用 100 個(gè)發(fā)射源得到的結(jié)果:

從相位圖可以看出來(lái),? 實(shí)際上相控陣列是還原了球面波的一部分,? 所以波在前進(jìn)到球心處達(dá)到極大值.

在實(shí)際使用中,? 通常需要通訊的地點(diǎn)距離相控陣列非常遠(yuǎn),? 以至于通訊設(shè)備發(fā)出的球面波在到達(dá)相控陣列時(shí)已經(jīng)被拉伸到與平面波幾乎一致.? 在上面的"正向-逆向"的"正向"情境中,? 因?yàn)?O 距離 A 和 B 距離較近,? 所以 A 和 B 接收到的波是球面波,? 但如果 O 與 A, B 相距很遠(yuǎn),? 那么 A, B 收到的波可以近似看作來(lái)自同一方向:?

那么這時(shí)候,? A, B 兩處的相位差為? $%5Cphi_B-%5Cphi_A%3D-2%5Cpi%20d%5Ccos%5Calpha$ ?(可以通過(guò)波的路程差計(jì)算出),? 其中 d 表示 A 和 B 的距離.? 另外,? 平面波的強(qiáng)度是不會(huì)隨距離衰減的,? 也即 A 和 B 處的強(qiáng)度可以近似看作相等.

那么在逆向場(chǎng)景里可以隨意指定 $%5Cphi'_A$ ,? 而有? $%5Cphi'_B%3D%5Cphi'_A%2B2%5Cpi%20fd%5Ccos%5Calpha$ .? 當(dāng)相控陣列里每個(gè)源都是均勻排列的時(shí)候,? 這個(gè)差值就是統(tǒng)一的.? 在這種情況里,? 能量會(huì)在方向?α 上取極大值:

記住,? 因?yàn)閳?chǎng)是線性的,? 所以如果需要往多個(gè)方向發(fā)射,? 只需簡(jiǎn)單地把結(jié)果組合起來(lái):

另外值得注意的一點(diǎn)是,? 如果當(dāng)發(fā)射方向 α 近乎與相控陣列平行的話,? 會(huì)不可避免地造成能量在其他方向上發(fā)散,? 如下圖所示 (α = 30°):

看到在另外的方向 ~170°?也產(chǎn)生了一束能量,? 這會(huì)造成能量損失或測(cè)量錯(cuò)誤等.? 這個(gè)結(jié)果受頻率,? 發(fā)射源之間的間距和發(fā)射方向影響,? 因?yàn)橥ǔＧ闆r下,? 頻率是不能改變的,? 所以可以通過(guò)減少發(fā)射源間距或安裝多個(gè)面向的相控陣列來(lái)保證發(fā)射方向總是在陣列前方.? 下面是減少間距到原本 1/2 的效果:

接下來(lái)把相控陣列拓展到 3 維空間上.? 描述立體空間里的角度當(dāng)然要使用立體角,? 雖然但是,? 這里使用單位向量 ω 來(lái)表示方向.? 在 2 維的版本里使用向量描述為:

不難知道:? $%7C%7Cd%7C%7C%5Ccos%5Calpha%3D-%5Cvec%20d%5Ccdot%5Cvec%5Comega$ ,? 并且當(dāng)存在多個(gè)發(fā)射源時(shí),? 每個(gè)發(fā)射源都可以相對(duì)于 A 來(lái)計(jì)算相位,? 并且實(shí)際上 A 處也不一定是發(fā)射源,? 當(dāng)基準(zhǔn)位置?A 不確定時(shí)至多只會(huì)造成全局相位不確定,? 當(dāng)所有相對(duì)于 A 計(jì)算的相位之間是相對(duì)確定的.? 特別地,? 當(dāng) A 取坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),? B?處源的初相可以取? $%5Cphi'_B%3D-2%5Cpi%20f%5Cvec%20B%5Ccdot%5Cvec%5Comega$ .? 這個(gè)結(jié)論在 3 維空間里也是成立的.