讓你想象一個(gè)盡可能大的數(shù)，你能想到多大？萬(wàn)億兆京垓，亦或是不可說(shuō)不可說(shuō)轉(zhuǎn)？其實(shí)這些數(shù)字不過(guò)是在后面添加了很多的零罷了，這樣的增長(zhǎng)率在真正的大數(shù)面前完全不夠看的。 那么要怎么樣才算是大數(shù)呢？我個(gè)人認(rèn)為至少要大到用科學(xué)計(jì)數(shù)法無(wú)法表示。在正式開始之前讓我們先來(lái)了解一下高德納箭頭“↑”吧。 當(dāng)兩個(gè)數(shù)之間只有一個(gè)箭頭時(shí)：a↑b＝a的b次方 如果是兩個(gè)箭頭：a↑↑b＝a↑a↑a↑……↑a，一共有b個(gè)a。這其實(shí)就是a的b層指數(shù)塔。 a↑↑↑b＝a↑↑a↑↑a↑↑……↑↑a ，一共有b個(gè)a。用指數(shù)塔表示就是，前一個(gè)指數(shù)塔的層數(shù)由后一個(gè)指數(shù)塔給出，然后有a↑↑b層指數(shù)塔。 你覺得上面那些東西很大？不，我們還沒正式進(jìn)入大數(shù)世界呢。 在四個(gè)高德納箭頭的時(shí)候，我們終于遇到了大數(shù)世界的守門員3↑↑↑↑3，這東西也叫G(1)，是葛立恒數(shù)的第一層。它長(zhǎng)下面這個(gè)樣子。

它代表的含義是每一個(gè)指數(shù)塔的層數(shù)都由后面那一堆一個(gè)指數(shù)塔給出，然后一共有3↑↑↑3個(gè)這樣的指數(shù)塔！讓我們?cè)倏纯?↑↑↑↑↑3。

可見，增加一個(gè)箭頭會(huì)帶來(lái)怎樣的暴漲。然而葛立恒數(shù)的第二層的箭頭數(shù)是G(1)個(gè)！所以從G(1)到G(2)是一次質(zhì)的飛躍。然后G(3)的箭頭個(gè)數(shù)是G(2)個(gè)，G(4)的箭頭數(shù)是G(3)個(gè)……。而那個(gè)著名的葛立恒數(shù)是G(64),它長(zhǎng)這樣。

這不是指數(shù)塔，而是箭頭塔！ 到了這一步，有必要講一下函數(shù)增長(zhǎng)率(專業(yè)說(shuō)法叫FGH)了。 我們將加法的增長(zhǎng)率定義為0；乘法是加法的迭代，它的增長(zhǎng)率為1；乘方是乘法的迭代，它的增長(zhǎng)率為2；兩個(gè)箭頭是乘方的迭代，增長(zhǎng)率為3，三個(gè)箭頭是兩個(gè)箭頭的迭代，增長(zhǎng)率為4……?？梢钥吹綗o(wú)論是多少個(gè)箭頭，增長(zhǎng)率都只是一個(gè)有限的常數(shù)?？扇绻野褌€(gè)頭的個(gè)數(shù)作為自變量x構(gòu)造函數(shù)，那這個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)率為多少呢？因?yàn)閤是自變量，可以取到任意大的值，所以我們用最小的可數(shù)無(wú)窮序數(shù)ω來(lái)表示。 ω是大于任意自然數(shù)序數(shù)的最小序數(shù)，它是(1，2，3……)的極限。值得注意的是1+ω＝ω，因?yàn)?+ω是(2，3，4……)的極限， 同理有2ω＝ω，它代表偶數(shù)列的極限。但是ω＋1＞ω，因?yàn)棣兀?代表的是在第ω位后面再取的一位。葛立恒函數(shù)的增長(zhǎng)率就是ω＋1。 對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，當(dāng)它套娃自己x次后(x是自變量，也可以理解為把套娃次數(shù)作為自變量構(gòu)造的新函數(shù))得到的新函數(shù)增長(zhǎng)率將會(huì)比原函數(shù)多一。這是我們構(gòu)造大數(shù)函數(shù)的基石。 讓我們從ω開始寫吧： ω ω＋1(葛立恒函數(shù)在這里) ω＋2 …… ω＋ω＝ω×2 ω×3 …… ω×ω＝ω2 ω3 …… ω↑ω＝ω↑↑2 ω↑↑3 …… ω↑↑ω＝ε?(九頭蛇函數(shù)在這里) ε?＋1 ε?＋2 …… ε?+ω ε?＋ω×2 ε?＋ω2 ε?＋ω↑ω ε?＋ε?＝ε?×2 ε?×3 ε?×ω ε?×ε?＝ε?2 ε?↑ω ε?↑ε? ε?↑↑ω＝ε? ε?↑↑ω＝ε? …… εε? εεε? ε……ε?＝ζ? 注意ζ?↑↑ω≠ζ?，因?yàn)棣纽?＝ζ?，ε(a＋1)＝εa↑↑ω，所以有ζ?↑↑ω＝ε(ζ?＋1)。 ε……ε(ζ?＋1)＝ζ? ε……ε(ζ?＋1)＝ζ? …… ζζ? ζζζ? ζ……ζ?＝η? η?↑↑ω＝ε(η?＋1) ε……ε(η?＋1)＝ζ(η?＋1) ζ……ζ(η?＋1)＝η? ζ……ζ(η?＋1)＝η? …… ηη? ηηη? η……η?＝？ 由于字母始終是有限的，我們此時(shí)需要引入二元φ函數(shù)。(TREE函數(shù)的增長(zhǎng)率可以用φ函數(shù)表達(dá)出來(lái)哦) 我們規(guī)定 ε＝φ(1，0) ε?＝φ(1，1) ε?＝φ(1，2) …… ζ?＝φ(2，0) ζ?＝φ(2，1) …… η?＝φ(3，0) η……η?＝φ(4，0) φ(5，0) φ(6，0) …… φ(ω，0) φ(φ(1，0)，0) φ(φ(……φ(1，0)，0)，0)＝φ(1，0，0)。此時(shí)我們達(dá)到了二元φ函數(shù)的極限開始進(jìn)入多元φ函數(shù)，這個(gè)φ(1，0，0)也可以寫做Γ?。 容易知道： φ(Γ?，0)＝Γ?， φ(φ(Γ?，0)，0)＝Γ? φ(φ(……φ(Γ?，0)，0)，0)＝Γ? φ(φ(……φ(Γ?＋1，0)，0)，0)＝φ(1，0，1) φ(φ(……φ(φ(1，0，1)＋1，0)，0)，0)＝φ(1，0，2) φ(1，0，3) φ(1，0，Γ?) φ(1，0，φ(1，0，Γ?)) 當(dāng)每層φ函數(shù)的第一位(從右往左數(shù))成層套娃當(dāng)前結(jié)構(gòu)時(shí)，進(jìn)位到第二位 得到φ(1，1，0) …… φ(1，2，0) φ(1，3，0) 同理第二位層層套娃當(dāng)前結(jié)構(gòu)時(shí)進(jìn)位到第三位上，得到φ(2，0，0) …… φ(3，0，0) φ(4，0，0) 第三位上層層套娃時(shí)進(jìn)位到到第四位上，得到φ(1，0，0，0)。 后面的進(jìn)位規(guī)則同理： φ(1，0，0，0，0) 零太多了怎么辦？我們直接用＠符號(hào)來(lái)代替。比如φ(1＠3)就表示1在φ函數(shù)的第三位上，φ(ω＠5)就表示ω在φ函數(shù)的第五位上。φ(1，1，4，5，1，4)也可以寫成 φ(1@6，1@5，4@4，5@3，1@2，4@1)。 當(dāng)φ函數(shù)有ω個(gè)零后，就寫成φ(1@ω)。這東西也叫SVO，它只比TREE函數(shù)的增長(zhǎng)率小了一點(diǎn)點(diǎn)(大數(shù)尺度下的一點(diǎn)點(diǎn)，常人眼中的億點(diǎn)點(diǎn))。TREE函數(shù)的增長(zhǎng)率大概是φ(ω@ω)。 這里我要辟個(gè)謠。很多人誤以為TREE(3)等于A^A(187196)(1)，即阿克曼函數(shù)A(1)嵌套自己A(187196)次。這個(gè)東西叫n(4)，是另一個(gè)問(wèn)題的解，和TREE(3)沒有任何關(guān)系。按照前面的分析，這個(gè)東西的增長(zhǎng)率只有ω＋2，僅僅比葛立恒函數(shù)多一，連九頭蛇函數(shù)的ε?都完全碾壓它，更不用說(shuō)TREE函數(shù)的φ(ω＠ω)了。 我們現(xiàn)在知道了TREE函數(shù)的增長(zhǎng)率，下期讓我們構(gòu)造一個(gè)增長(zhǎng)率超過(guò)它的函數(shù)吧。