關(guān)于GARCH的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

本文分析將用于制定管理客戶和供應(yīng)商關(guān)系的策略準(zhǔn)則

假設(shè)：

• 貴公司擁有用于生產(chǎn)和分銷聚戊二酸的設(shè)施，聚戊二酸是一種用于多個(gè)行業(yè)的化合物。

• 制造和分銷過程的投入包括各種石油產(chǎn)品和天然氣。價(jià)格波動(dòng)可能非常不穩(wěn)定。

• 營運(yùn)資金管理一直是一個(gè)挑戰(zhàn)，最近匯率的走勢(shì)嚴(yán)重影響了資金。

• 您的CFO使用期貨和場(chǎng)外交易（OTC）工具對(duì)沖價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)。

董事會(huì)感到關(guān)切的是，公司已連續(xù)第五個(gè)季度未能實(shí)現(xiàn)盈利預(yù)期。股東不高興。罪魁禍?zhǔn)姿坪跏巧唐蜂N售成本的波動(dòng)。

示例

1. 您應(yīng)該問有哪些能源定價(jià)模式的關(guān)鍵業(yè)務(wù)問題？

2. 您可以使用哪種方法來管理波動(dòng)率？

這里有一些想法。關(guān)鍵業(yè)務(wù)問題可能是：

• 哪些輸入價(jià)格和匯率比其他輸入價(jià)格和匯率更不穩(wěn)定？何時(shí)？

• 價(jià)格走勢(shì)相關(guān)嗎？

• 在市場(chǎng)壓力時(shí)期，它們的走勢(shì)會(huì)有多動(dòng)蕩？

• 是否有我們可以部署的套期工具或可以用來減輕定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)？

管理波動(dòng)

• 建立輸入監(jiān)視系統(tǒng)，以了解哪些輸入會(huì)影響運(yùn)行制造和分銷流程的哪些成本。

• 監(jiān)控價(jià)格走勢(shì)和特征，并按流程衡量對(duì)關(guān)鍵營業(yè)收入構(gòu)成部分的影響的嚴(yán)重性。

• 內(nèi)置價(jià)格無法承受預(yù)警指標(biāo)。

在本文中，我們將

• 使用波動(dòng)率聚類

• 擬合AR-GARCH模型

• 從AR-GARCH模型模擬波動(dòng)率

• 衡量風(fēng)險(xiǎn)

ARCH模型

我們已經(jīng)研究了波動(dòng)性聚類。ARCH模型是對(duì)此進(jìn)行建模的一種方法。

這些模型對(duì)于金融時(shí)間序列特別有用，因?yàn)榻鹑跁r(shí)間序列顯示出較大的收益率變動(dòng)時(shí)期以及相對(duì)平穩(wěn)的價(jià)格變化的間歇時(shí)期。

可以從z（t）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量和初始標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)率開始指定AR + ARCH模型σ（t）2 = z（t）2。然后，我們用方差ε（t）=（sigma2）1 / 2z（t）ε的平方來調(diào)節(jié)這些變量。然后我們首先為每個(gè)日期計(jì)算t = 1 ... n，

使用該條件誤差項(xiàng)，我們計(jì)算自回歸

現(xiàn)在我們準(zhǔn)備計(jì)算新的方差項(xiàng)。

n?<-??10500??z?<-?rnorm(n)?##?樣本標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量sig2?<-??z^2?##創(chuàng)建波動(dòng)率序列omega?<-??1?##?方差mu?<-??0.1?##?平均收益率omega/(1-alpha)sqrt(omega/(1-alpha))

##?[1]?2.222222

##?[1]?1.490712

for?(t?in?2:n)?##?滯后于第二個(gè)日期開始{???y[t]?<-??mu?+?phi*(y[t-1?-mu)?+?e[t]?##??收益率??sig2[t+1]?<-??omega?+?alpha?*?e[t?^2?##?生成新的sigma?^?2。

結(jié)果沒有指導(dǎo)意義。

我們可以看到

1. 條件標(biāo)準(zhǔn)偏差中較大的孤立峰

2. 在ARCH圖中也顯示

估計(jì)

我們有多種方法來估計(jì)AR-ARCH過程的參數(shù)。首先，讓我們加載一些數(shù)據(jù)。

##?匯率數(shù)據(jù)是從OANDA獲得data.1?<-?na.omit(merge(EUR_USD,?GBP_USD,?????OIL_Brent))P?<-?data.1R?<-?na.omit(diff(log(P))?*?100)

然后，我們繪制數(shù)據(jù)自相關(guān)。

##?##??Box-Ljung?test##?##?data:??Brent.r##?X-squared?=?32.272,?df?=?14,?p-value?=?0.003664

純隨機(jī)性檢驗(yàn)，p值小于5%,序列為非白噪聲

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估計(jì)

左右滑動(dòng)查看更多

01

02

03

04

擬合

我們的第一項(xiàng)任務(wù)是ARMA-GARCH模型。

1. 指定普通sGarch?模型。

2. garchOrder = c(1,1)?表示我們使用殘差平方和方差的一期滯后：

1. 使用?armaOrder = c(1,0)?指定長期平均收益模型?

1. mean如上述方程式中包括?。

2. 按照norm?正態(tài)分布?。我們還將使用赤池信息準(zhǔn)則（AIC）將擬合與學(xué)生t分布進(jìn)行比較?。

3. 使用將數(shù)據(jù)擬合到模型?ugarchfit。

ugarchspec(variance.model?=?list(model?=?"sGARCH",?????garchOrder?=?c(1,?1)),?mean.model?=?list(armaOrder?=?c(1,?????0),?include.mean?=?TRUE),?distribution.model?=?"norm")

讓我們看一下該模型中的條件分位數(shù)，也稱為VaR，設(shè)置為99％。

##?首先是條件分位數(shù)plot(fit,?which?=?2)

現(xiàn)在，讓我們生成一個(gè)繪圖面板。

##??數(shù)據(jù)acf-顯示序列相關(guān)plot(fit?,?which?=?6)##?數(shù)據(jù)的QQ圖-顯示標(biāo)準(zhǔn)化殘基的峰度-不支持正態(tài)假設(shè)##?標(biāo)準(zhǔn)化殘差的acf?##?平方標(biāo)準(zhǔn)殘差的acf

例子

讓我們重做GARCH估計(jì)，現(xiàn)在使用Student t分布。

##?用學(xué)生t分布擬合AR（1）-GARCH（1,1）模型AR.GARCH.spec?<-?ugarchspec(variance.model?=?list(model?=?"sGARCH",?????garchOrder?=?c(1,?1)),?mean.model?=?list(armaOrder?=?c(1,?????0),?include.mean?=?TRUE),?distribution.model?=?"std")

結(jié)果?

1. 絕對(duì)觀測(cè)值的ACF表明存在很大的波動(dòng)性聚類。

2. AR-ARCH估計(jì)具有有界的標(biāo)準(zhǔn)化殘差（殘差/標(biāo)準(zhǔn)誤差），從而大大降低了這些誤差。

3. 看來t分布AR-GARCH解釋了原油波動(dòng)的大部分趨勢(shì)。

用哪個(gè)模型？使用Akaike信息準(zhǔn)則（AIC）測(cè)量模型中的信息。

使用正態(tài)分布模型的AIC = 4.2471。使用學(xué)生t分布模型的AIC = 4.2062。學(xué)生t分布模型更好。

這是我們可以從擬合模型中得出的一些常見結(jié)果：

##?????????mu????????ar1??????omega?????alpha1??????beta1??????shape?##?0.04018002?0.01727725?0.01087721?0.03816097?0.96074399?7.03778415

系數(shù)包括：

• mu?是原油的長期平均收益率。

• ar1?是一天后收益對(duì)今天收益的影響。

• omega?是長期方差。

• alpha1?滯后平方方差對(duì)今天的收益的影響。

• beta1?滯后平方殘差對(duì)今天收益率的影響。

• shape?是學(xué)生t分布的自由度。

讓我們來繪制隨時(shí)間變化的波動(dòng)性。

##?????????mu????????ar1??????omega?????alpha1??????beta1??????shape?##?0.04018002?0.01727725?0.01087721?0.03816097?0.96074399?7.03778415

接下來，我們繪制并檢驗(yàn)殘差：

hist(z.hat)

mean(z.hat)

##?[1]?-0.0181139

var(z.hat)

##??????????[,1]##?[1,]?1.000682

##?[1]?-0.3207327##?attr(,"method")##?[1]?"moment"

kurtosis(z.hat)

##?[1]?2.048561##?attr(,"method")##?[1]?"excess"

##?##??Shapiro-Wilk?normality?test##?##?data:??as.numeric(z.hat)##?W?=?0.98439,?p-value?<?2.2e-16

##?##??Jarque-Bera?Normality?Test##?##?data:??as.numeric(z.hat)##?JB?=?780.73,?p-value?<?2.2e-16##?alternative?hypothesis:?greater

我們看到了什么？

• 左偏。

• 厚尾。

• 兩種標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)均表明拒絕該序列為正態(tài)分布的零假設(shè)。

模擬

1. 使用fit 結(jié)果中的參數(shù)指定AR-GARCH。

2. 生成2000條模擬路徑。

GARCHspec

##?##?*---------------------------------*##?*???????GARCH?Model?Spec??????????*##?*---------------------------------*##?##?Conditional?Variance?Dynamics????##?------------------------------------##?GARCH?Model??????:?sGARCH(1,1)##?Variance?Targeting???:?FALSE?##?##?Conditional?Mean?Dynamics##?------------------------------------##?Mean?Model???????:?ARFIMA(1,0,0)##?Include?Mean?????:?TRUE?##?GARCH-in-Mean????????:?FALSE?##?##?Conditional?Distribution##?------------------------------------##?Distribution?:??std?##?Includes?Skew????:??FALSE?##?Includes?Shape???:??TRUE?##?Includes?Lambda??:??FALSE

##?生成長度為2000的兩個(gè)路徑??ugarchpath(GARCHspec,?n.sim?=?2000,?????n.start?=?50,?m.sim?=?2)

提取波動(dòng)率

?head(vol)

##?????????[,1]?????[,2]##?T+1?2.950497?5.018346##?T+2?2.893878?4.927087##?T+3?2.848404?4.849797##?T+4?2.802098?4.819258##?T+5?2.880778?4.768916##?T+6?2.826746?4.675612

##?實(shí)際的模擬數(shù)據(jù)X?<-?series$seriesSimhead(X)

##????????????[,1]???????[,2]##?[1,]??0.1509418??1.4608335##?[2,]??1.2644849?-2.1509425##?[3,]?-1.0397785??4.0248510##?[4,]??4.4369130??3.4214660##?[5,]?-0.3076812?-0.1104726##?[6,]??0.4798977??2.7440751

示例

模擬的序列是否符合事實(shí)？

X1?<-?X[,?1]acf(X1)acf(abs(X1))qqnorm(X1)qqline(X1,?col?=?2)shapiro.test(X1)

這是結(jié)果?

##?##??Shapiro-Wilk?normality?test##?##?data:??X1##?W?=?0.97164,?p-value?<?2.2e-16

Shapiro-Wilk檢驗(yàn)-零假設(shè)：正態(tài)分布。如果p值足夠小，則拒絕原假設(shè)。-必須使用QQ圖進(jìn)行驗(yàn)證。

多元GARCH

從單變量GARCH到多元GARCH

• 動(dòng)態(tài)條件相關(guān)。

• 具有隨時(shí)間變化的波動(dòng)性。

• 如何使資產(chǎn)收益之間的相關(guān)性也隨時(shí)間變化。

為什么？-如果我們擁有投資組合（例如應(yīng)收賬款，可能會(huì)面臨匯率和原油價(jià)格變動(dòng)的情況），該怎么辦？-我們需要了解這三個(gè)因素的聯(lián)合波動(dòng)性和依賴性，因?yàn)樗鼈儠?huì)影響應(yīng)收賬款的整體波動(dòng)性。我們將使用這些條件方差來模擬管理貨幣和商品風(fēng)險(xiǎn)的工具的期權(quán)價(jià)格。

dcc.garch11.spec

##?##?*------------------------------*##?*???????DCC?GARCH?Spec?????????*##?*------------------------------*##?Model??????????:??DCC(1,1)##?Estimation?????:??2-step##?Distribution???:??mvt##?No.?Parameters?:??21##?No.?Series?????:??3

現(xiàn)在進(jìn)行擬合

現(xiàn)在讓我們得到一些結(jié)果：

##?##?*---------------------------------*##?*??????????DCC?GARCH?Fit??????????*##?*---------------------------------*##?##?Distribution?????????:??mvt##?Model????????????????:??DCC(1,1)##?No.?Parameters???????:??21##?[VAR?GARCH?DCC?UncQ]?:?[0+15+3+3]##?No.?Series???????????:??3##?No.?Obs.?????????????:??4057##?Log-Likelihood???????:??-12820.82##?Av.Log-Likelihood????:??-3.16?##?##?Optimal?Parameters##?-----------------------------------##?????????????????????Estimate??Std.?Error????t?value?Pr(>|t|)##?[EUR.USD].mu????????0.006996????0.007195????0.97238?0.330861##?[EUR.USD].omega?????0.000540????0.000288????1.87540?0.060738##?[EUR.USD].alpha1????0.036643????0.001590???23.04978?0.000000##?[EUR.USD].beta1?????0.962357????0.000397?2426.49736?0.000000##?[EUR.USD].shape?????9.344066????1.192132????7.83811?0.000000##?[GBP.USD].mu????????0.006424????0.006386????1.00594?0.314447##?[GBP.USD].omega?????0.000873????0.000327????2.67334?0.007510##?[GBP.USD].alpha1????0.038292????0.002217???17.27004?0.000000##?[GBP.USD].beta1?????0.958481????0.000555?1727.86868?0.000000##?[GBP.USD].shape????10.481272????1.534457????6.83061?0.000000##?[OIL.Brent].mu??????0.040479????0.026696????1.51627?0.129450##?[OIL.Brent].omega???0.010779????0.004342????2.48228?0.013055##?[OIL.Brent].alpha1??0.037986????0.001941???19.57467?0.000000##?[OIL.Brent].beta1???0.960927????0.000454?2118.80489?0.000000##?[OIL.Brent].shape???7.040287????0.729837????9.64639?0.000000##?[Joint]dcca1????????0.009915????0.002821????3.51469?0.000440##?[Joint]dccb1????????0.987616????0.004386??225.15202?0.000000##?[Joint]mshape???????9.732509????0.652707???14.91100?0.000000##?##?Information?Criteria##?---------------------##????????????????????##?Akaike???????6.3307##?Bayes????????6.3633##?Shibata??????6.3306##?Hannan-Quinn?6.3423##?##?##?Elapsed?time?:?11.89964

• 聯(lián)合條件協(xié)方差參數(shù)顯著不同于零。

現(xiàn)在，使用來自擬合的所有信息，我們進(jìn)行預(yù)測(cè)。我們用來模擬套期工具或投資組合VaR或ES，讓我們先繪制隨時(shí)間變化的sigma。

示例

鑒于條件波動(dòng)性和相關(guān)性，請(qǐng)查看VaR和ES的三個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素。

這是一些結(jié)果。首先，計(jì)算，然后繪圖。

##???????????1%???????????5%??????????50%??????????95%??????????99%?##?-6.137269958?-3.677130793?-0.004439644??3.391312753??5.896992710

##????????????1%????????????5%???????????50%???????????95%???????????99%?##?-1.3393119939?-0.8235076255?-0.0003271163??0.7659725631??1.2465945013

##???????????1%???????????5%??????????50%??????????95%??????????99%?##?-1.520666396?-0.980794376??0.006889539??0.904772045??1.493169076

我們看到：

1. 在分布的負(fù)數(shù)部分權(quán)重更大。

2. 匯率大致相同。

3. 如果您在客戶和分銷過程中使用布倫特原油，則可能會(huì)在約1％的時(shí)間內(nèi)遭受600％以上的損失。

讓我們使用新的波動(dòng)率模型和分布進(jìn)行調(diào)整，以擬合不對(duì)稱和厚尾。

在這里，我們嘗試使用一種新的GARCH模型：gjr代表Glosten，Jagannathan和Runkle（1993）他們提出的一個(gè)波動(dòng)模型：

σ2t=ω+ασ2t-1+β1ε2t-1+β2ε2t-1It-1

擬合此模型。

##?##?*---------------------------------*##?*??????????GARCH?Model?Fit????????*##?*---------------------------------*##?##?Conditional?Variance?Dynamics????##?-----------------------------------##?GARCH?Model??:?gjrGARCH(1,1)##?Mean?Model???:?ARFIMA(1,0,1)##?Distribution?:?nig?##?##?Optimal?Parameters##?------------------------------------##?????????Estimate??Std.?Error?????t?value?Pr(>|t|)##?mu?????-0.040275????0.027883?-1.4445e+00?0.148608##?ar1?????0.996072????0.001900??5.2430e+02?0.000000##?ma1????-0.989719????0.000005?-1.8786e+05?0.000000##?omega???0.006346????0.003427??1.8517e+00?0.064071##?alpha1??0.009670????0.003841??2.5178e+00?0.011808##?beta1???0.968206????0.001237??7.8286e+02?0.000000##?gamma1??0.042773????0.007183??5.9547e+00?0.000000##?skew???-0.120184????0.032059?-3.7488e+00?0.000178##?shape???2.362890????0.351494??6.7224e+00?0.000000##?##?Robust?Standard?Errors:##?????????Estimate??Std.?Error?????t?value?Pr(>|t|)##?mu?????-0.040275????0.030871?-1.3046e+00?0.192023##?ar1?????0.996072????0.002107??4.7283e+02?0.000000##?ma1????-0.989719????0.000005?-1.8363e+05?0.000000##?omega???0.006346????0.003388??1.8729e+00?0.061086##?alpha1??0.009670????0.004565??2.1184e+00?0.034143##?beta1???0.968206????0.000352??2.7485e+03?0.000000##?gamma1??0.042773????0.008503??5.0300e+00?0.000000##?skew???-0.120184????0.033155?-3.6249e+00?0.000289##?shape???2.362890????0.405910??5.8212e+00?0.000000##?##?LogLikelihood?:?-8508.439?##?##?Information?Criteria##?------------------------------------##????????????????????##?Akaike???????4.1989##?Bayes????????4.2129##?Shibata??????4.1989##?Hannan-Quinn?4.2038##?##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Residuals##?------------------------------------##?????????????????????????statistic?p-value##?Lag[1]??????????????????????1.856??0.1730##?Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]?????2.196??0.9090##?Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]?????2.659??0.9354##?d.o.f=2##?H0?:?No?serial?correlation##?##?Weighted?Ljung-Box?Test?on?Standardized?Squared?Residuals##?------------------------------------##?????????????????????????statistic??p-value##?Lag[1]?????????????????????0.5109?0.474739##?Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]????9.3918?0.013167##?Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]???13.2753?0.009209##?d.o.f=2##?##?Weighted?ARCH?LM?Tests##?------------------------------------##?????????????Statistic?Shape?Scale??P-Value##?ARCH?Lag[3]?????10.26?0.500?2.000?0.001360##?ARCH?Lag[5]?????10.41?1.440?1.667?0.005216##?ARCH?Lag[7]?????11.06?2.315?1.543?0.010371##?##?Nyblom?stability?test##?------------------------------------##?Joint?Statistic:??2.5309##?Individual?Statistics:??????????????##?mu?????0.91051##?ar1????0.07050##?ma1????0.06321##?omega??0.70755##?alpha1?0.22126##?beta1??0.28137##?gamma1?0.17746##?skew???0.25115##?shape??0.16545##?##?Asymptotic?Critical?Values?(10%?5%?1%)##?Joint?Statistic:??????????2.1?2.32?2.82##?Individual?Statistic:?????0.35?0.47?0.75##?##?Sign?Bias?Test##?------------------------------------##????????????????????t-value????prob?sig##?Sign?Bias???????????1.1836?0.23663????##?Negative?Sign?Bias??0.7703?0.44119????##?Positive?Sign?Bias??1.8249?0.06809???*##?Joint?Effect????????9.8802?0.01961??**##?##?##?Adjusted?Pearson?Goodness-of-Fit?Test:##?------------------------------------##???group?statistic?p-value(g-1)##?1????20?????27.42??????0.09520##?2????30?????46.32??????0.02183##?3????40?????58.50??????0.02311##?4????50?????70.37??????0.02431##?##?##?Elapsed?time?:?6.630391

我們可以使用?tailplot()?函數(shù)解釋結(jié)果。

##??????????p??quantile?????sfall##?[1,]?0.900??3.478474??5.110320##?[2,]?0.950??4.509217??6.293461##?[3,]?0.975??5.636221??7.587096##?[4,]?0.990??7.289163??9.484430##?[5,]?0.999?12.415553?15.368772

quantile?給出我們的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和期望損失（ES）

可以看到尾部圖。

• 結(jié)果表明，使用AR-GARCH處理后，尾部更厚。

• 我們可以回到市場(chǎng)和風(fēng)險(xiǎn)部分，了解平均超額價(jià)值以及VaR和ES的置信區(qū)間。

• 對(duì)于應(yīng)收帳款，緩解策略可能是通過再保險(xiǎn)和_總收益互換_提供超額風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖。

• 對(duì)客戶的信用風(fēng)險(xiǎn)分析至關(guān)重要：頻繁更新客戶將有助于及早發(fā)現(xiàn)某些解決方案的問題。

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