線性代數(shù)考研真題題庫視頻網(wǎng)課！

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線性代數(shù)考研真題題庫視頻網(wǎng)課摘錄：

全排列

把n個(gè)不同的元素排成一列，稱為這n個(gè)元素的全排列.n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.

逆序數(shù)

（1）逆序數(shù)定義

對(duì)于n個(gè)不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如，n個(gè)不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序），于是在這n個(gè)元素的任一排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說構(gòu)成1個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).

（2）分類

逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列.

（3）逆序數(shù)的計(jì)算

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.

對(duì)換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).

如果行列式有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.

固若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則可以將該行列式拆分成兩個(gè)行列式之和.

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變.

分類

（1）實(shí)矩陣矩陣元素都為實(shí)數(shù)的矩陣.

（2）復(fù)矩陣矩陣元素為復(fù)數(shù)的矩陣.

（3）行矩陣/列矩陣又稱行向量列向量，只有一行（列）的矩陣.

（4）n階方陣行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階方陣.

（5）零矩陣元素都是零的矩陣.

（6）對(duì)角矩陣對(duì)角線以外的元素都是0的方陣.（7）單位矩陣對(duì)角線上元素都為1的對(duì)角矩陣.

同型矩陣與矩陣相等

（1）兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.

（2）兩個(gè)矩陣A=（a）與B=（b）為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元素相等，即a；=b，（i=1，2，，m；j=1，2-，n）

則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B.

線性相關(guān)結(jié)論

（1）若向量組A:a1，a2，…，am線性相關(guān)，則向量組B:a1，a2，…，am，am+1也線性相關(guān).反之，若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān).

（2）m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān).特別地n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān).

（3）設(shè)向量組A:a1，a2，…，am線性無關(guān)，而向量組B:a1，a2，…，am，b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是唯一的.

定義

設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個(gè)向量a1，a2，…，ar，滿足（1）向量組Ao:a1，a2.…，a線性無關(guān)；

（2）向量組A中任意r+1個(gè)向量（如果A中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)，則稱向量組Ao是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組），最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量組A的秩，記為RA.

只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.

最大無關(guān)組的等價(jià)定義

設(shè)向量組Ao:a1，a2…，ar是向量組A的一個(gè)部分組，且滿足：

（1）向量組Ao線性無關(guān)；

（2）向量組A的任一向量都能由向量組Ao線性表示，則向量組Ao便是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組.

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