難倒整個(gè)議題委員會(huì)、四位數(shù)論專家，還有數(shù)學(xué)天才陶哲軒的傳奇奧數(shù)題目到底有多難？

撰文 | 史丹福狂想曲

玩過奧數(shù)或者其他數(shù)學(xué)競(jìng)賽的朋友大概都會(huì)聽過”傳奇的第6題”。這條題目出自1988年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（International Mathematical Olympiad，簡(jiǎn)稱IMO）的第6題，是公認(rèn)的史上最精彩、也是最困難的其中一道競(jìng)賽題目。

題目如下：

1 ?傳奇的第6題

這題目究竟有多困難呢？ 我們先簡(jiǎn)介一下IMO的題目來(lái)源，好讓大家對(duì)這比賽有更多的認(rèn)識(shí)。

IMO競(jìng)賽是讓全世界不同國(guó)家的中學(xué)生參與的數(shù)學(xué)比賽，共有6道題目，比賽分兩天，每天做三題，總共時(shí)間為9小時(shí)。題目基本上都是證明類題目，每題值7分，共42分。試題大致上會(huì)分為簡(jiǎn)單、中等與困難三個(gè)等級(jí)，第1與第4題屬簡(jiǎn)單，第2與第5題屬中等，第3與第6題屬困難。題目由主辦國(guó)外的各參賽國(guó)提供，由主辦國(guó)組成擬題委員會(huì)，從提交題目中挑選候選題目。各國(guó)領(lǐng)隊(duì)先于隊(duì)員提前數(shù)天抵達(dá)，共同商議問題及官方答案。

話說(shuō)當(dāng)年西德是奧數(shù)的超級(jí)強(qiáng)隊(duì)，曾經(jīng)于1982與1983年獲得總分第一。但之后幾年卻被蘇聯(lián)、羅馬尼亞及美國(guó)超越了，搶奪了第一的寶座。有人認(rèn)為也許是出于復(fù)仇心態(tài)，西德數(shù)學(xué)家就出了這道精心設(shè)計(jì)、極盡困難的題目。澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克議題委員會(huì)的六個(gè)成員都未能解決這道由西德數(shù)學(xué)家提供的問題，于是他們只好向主辦國(guó)澳大利亞的4位最好的數(shù)論專家求肋，委員會(huì)希望專家能于6小時(shí)內(nèi)解決問題，令人尷尬的是，專家經(jīng)過一輪苦戰(zhàn)都未能解出題目。于是，議題委員竟然夠勇氣把問題寄往國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)，不過他們特意在問題旁加上兩顆星，代表這是超難題目——也許難到不應(yīng)用作競(jìng)賽題目。委員會(huì)作了長(zhǎng)時(shí)間的考慮后，又竟然真的斗膽敢采用此題，結(jié)果這個(gè)題目就成了第29屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的第6題。

委員會(huì)有人覺得這可能會(huì)成為破紀(jì)錄的沒有選手解出的國(guó)際奧數(shù)問題。然而事實(shí)上結(jié)果卻并不是那么悲觀：雖然268名選手在這道題目上的平均得分只有0.6分，為IMO舉辦29年以來(lái)平均得分最低的一題，但這個(gè)難倒4位數(shù)論專家的題目，卻被11位中學(xué)生以7分滿分的成績(jī)解答出來(lái)。

陶哲軒被譽(yù)為當(dāng)今世上最出色的年輕數(shù)學(xué)家之一。他自小已是數(shù)學(xué)天才，于10歲、11歲及12歲參加了三次國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，分別得了銅獎(jiǎng)、銀獎(jiǎng)與金獎(jiǎng)，是銅獎(jiǎng)、銀獎(jiǎng)與金獎(jiǎng)的最年輕得獎(jiǎng)紀(jì)錄保持者。他于16歲得到學(xué)士學(xué)位，21歲得到普林斯大學(xué)博士學(xué)位，并在24歲成了加州大學(xué)洛杉磯分校（University of California, Los Angeles，簡(jiǎn)稱UCLA）數(shù)學(xué)系的終身教授，是該校史上最年輕的終身教授。 ?他于31歲獲得菲爾茲獎(jiǎng)。菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)界最高的榮譽(yù)，由于諾貝爾獎(jiǎng)不設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，所以菲爾茲獎(jiǎng)基本上就是等同于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)。

為何我突然花這么多的時(shí)間介紹陶哲軒呢？因?yàn)樗麉⑴c了1988年的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽并獲得金獎(jiǎng)，他于頭5題都全取7分，最后的第6題卻只有1分。這條超級(jí)難題連當(dāng)今世上其中一位最出色的數(shù)學(xué)家都破解不了，令題目更添傳奇色彩。

有一位參賽者，保加利亞選手Emanouil Atanassov卻得到了該題的特別獎(jiǎng)。特別獎(jiǎng)的得獎(jiǎng)?wù)弑仨氁靡环N非常漂亮、精彩獨(dú)到的方法解題，答案比標(biāo)準(zhǔn)答案更精彩，常常也更簡(jiǎn)潔，才有機(jī)會(huì)得獎(jiǎng)，可以說(shuō)是比得到滿分更困難。而他用到的方法叫“韋達(dá)跳躍”（Vieta jumping）。筆者找不到文獻(xiàn)記載中，在這道奧數(shù)問題出現(xiàn)以前有沒有人用過此方法解數(shù)學(xué)題，不過可以肯定的是，這方法在該屆IMO之后變得聲名大噪，現(xiàn)今已是參加數(shù)學(xué)比賽者訓(xùn)練時(shí)必定會(huì)學(xué)到的技巧。

2? ?韋達(dá)跳躍

“韋達(dá)跳躍”的概念其實(shí)都只是來(lái)自高中數(shù)學(xué)，沒有什么高深的，只不過是利用了極盡巧妙的方法，把初等數(shù)學(xué)的威力發(fā)揮得淋漓盡致而已。這技巧牽涉到兩個(gè)重要數(shù)學(xué)知識(shí)：一是韋達(dá)定理（Vieta’s theorem），一是無(wú)窮遞降法（method of infinite descent）。

韋達(dá)定理其實(shí)就是二次方程中根的和與積及系數(shù)的關(guān)系：

這應(yīng)該是DSE（香港中學(xué)文憑考試）高中數(shù)學(xué)第一課的內(nèi)容，是廣為人知的（雖然課程沒有用到韋達(dá)定理這個(gè)很專業(yè)的名稱）。

至于無(wú)窮遞降法則是一種反證法，用的是“沒有最小，只有更小”的概念。如果我們假設(shè)，一方程式如果有一正整數(shù)解，那么應(yīng)該有一最小的解。然后我們?cè)僮C明“如果有一解，必有另一個(gè)更小的解”，也就是說(shuō)“沒有最小，只有更小”，這與方程式有最小解互相矛盾。唯一的可能性就是我們的假設(shè)出錯(cuò)，方程式根本上沒有解。

這個(gè)方法最先由大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬使用，他據(jù)此證明了x4+y4=z4沒有正整數(shù)解，也就是費(fèi)馬大定理中n=4的情況。歐拉也用無(wú)窮遞降法證明過，每個(gè)除4后余數(shù)為1的質(zhì)數(shù)都可以表達(dá)為兩個(gè)平方之和。值得一提的是，這定理也是由費(fèi)馬最先提出的，雖然他沒有提出證明。

3? ?破解難題

言歸正傳，我們就試試用這種方法解開傳奇的第6題吧！

將a1與b1代入上面的式子得到，

由此進(jìn)一步得到a2需要滿足的條件，

根據(jù) (1)，a2必為整數(shù)。

根據(jù) (2)，a2不可能是0，因?yàn)閗不是平方數(shù)，b12-k不可能是0。

k是正整數(shù)，b1是正整數(shù)，(a22+ b12)/(a2b1+1) = k，顯然a2不可以是負(fù)數(shù)。

大家還記得我們假設(shè)過 a1>= b1 嗎？因此根據(jù) (2)，a2必定小于a1。

這個(gè)題目令“韋達(dá)跳躍”聲名大噪，現(xiàn)在不少數(shù)學(xué)競(jìng)賽的書籍，甚至是大學(xué)的教科書都會(huì)用這“傳奇的第6題”為例子，所以以現(xiàn)今的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看這題目不算太困難。如果現(xiàn)在的IMO再出一道有關(guān)“韋達(dá)跳躍”的數(shù)論題目，參加者們也大概會(huì)有不錯(cuò)的成績(jī)。不過它在當(dāng)年難倒整個(gè)議題委員會(huì)、四位數(shù)論專家、數(shù)學(xué)天才陶哲軒及很多數(shù)學(xué)好手，稱這傳奇題目為史上最難的奧數(shù)題目絕不為過。

后 記

by 文小剛

還沒完......

雖然證明之后好像就完事了，但我們還可以進(jìn)一步探索。

下面我們做一下“實(shí)驗(yàn)”，用計(jì)算機(jī)尋找滿足ab+1可以整除a2+b2的正整數(shù)對(duì)a,b（只列a<=b）。如果你真的做了計(jì)算，馬上會(huì)發(fā)現(xiàn)有兩類解。第1類解中的a可以是任意的正整數(shù)n，而b是a的三次方：

具體實(shí)驗(yàn)又給我們帶來(lái)新的問題，讓我們可以繼續(xù)探索。如何理解這第3類看似不規(guī)則的解，有興趣的讀者接下來(lái)可以進(jìn)一步考慮，看能不能系統(tǒng)地構(gòu)造出所有的解。

本文除“后記”外轉(zhuǎn)載自博客“史丹福狂想曲”，原文題目為“史上最難的奧數(shù)題目”，原文鏈接https://drstanford.blogspot.com/2020/02/blog-post.html 。

想要繼續(xù)挑戰(zhàn)嗎？1988年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的完整試題在這里：https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1988