照樣，Maxwell+Lorentz+特定性假設(shè)。

1. 從Maxwell4看出，磁場(chǎng)來(lái)源于電流，即運(yùn)動(dòng)的電荷。這是自然的，磁場(chǎng)無(wú)非是電場(chǎng)在另一個(gè)坐標(biāo)系下看。磁體就是分子電流，雖然沒(méi)有明面上的電流。關(guān)于磁性物質(zhì)是個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題（各種特定性假設(shè)），以后慢慢講。
   

2. Maxwell方程中出現(xiàn)的兩個(gè)基本常數(shù)：真空介電常數(shù)\epsilon_0與真空磁導(dǎo)率\mu_0。前者8.85×10^{?12}F/m是經(jīng)常用到的常數(shù)；后者在單位之中by definition是4π×10^{?7}?V·s/(A·m)。解出振動(dòng)解很容易看到真空光速為c=1/sqrt{\epsilon_0\mu_0}。由此記單位倒是比較方便。

3. 磁感應(yīng)強(qiáng)度B，單位特斯拉T。磁場(chǎng)強(qiáng)度這個(gè)名字先給H了，但是B是更基本的量。T是個(gè)很大的單位。冰箱貼的磁場(chǎng)為0.001 T。核磁共振通常為幾個(gè)T，這是相當(dāng)大的磁場(chǎng)。另外一個(gè)常用的單位是高斯（1Gs=10^{-4}T）。這兩個(gè)在日常生活中都極其常用。我們可以想，為什么電場(chǎng)強(qiáng)度沒(méi)有專門的單位，而磁場(chǎng)有兩個(gè)專門的單位？因?yàn)閷?shí)際上很少會(huì)去算電場(chǎng)有多大，但是隨便拿出一個(gè)磁鐵來(lái)都會(huì)說(shuō)它的磁場(chǎng)是多大。再舉幾個(gè)例子感受一下。地磁場(chǎng)是零點(diǎn)幾個(gè)高斯（還是足夠把磁鐵轉(zhuǎn)過(guò)去的）。平時(shí)玩的磁鐵大概幾十上百個(gè)高斯，我們不會(huì)用特斯拉來(lái)說(shuō)。到核磁共振我們就不會(huì)說(shuō)幾個(gè)高斯，而是幾個(gè)特斯拉。

Biot-Savart定律

類似靜電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的Coulumb定律，我們也希望有一個(gè)類似的穩(wěn)恒電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的公式，方便隨隨便便拿來(lái)計(jì)算（做題），這就是Biot-Savart定律。這里說(shuō)的當(dāng)然是穩(wěn)恒電流（靜磁場(chǎng)）。

首先，靜磁場(chǎng)的方程為：

要緊的是第二個(gè)，它說(shuō)電流周圍會(huì)有環(huán)繞著的磁場(chǎng)。

我們得先搞清楚旋度是什么方向的：要記住是右手定則。叉乘無(wú)非都是右手定則。

然后我們具體看看磁場(chǎng)大小是多大。對(duì)于直導(dǎo)線，用Stokes定理更加簡(jiǎn)單：

這樣直導(dǎo)線周圍的電磁場(chǎng)（大小和方向）就知道了。

不過(guò)這個(gè)式子還不夠general。假設(shè)只有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)電流密度j，長(zhǎng)度為dl，則它產(chǎn)生的dB是多少？直接給出公式：

可以驗(yàn)證它滿足Maxwell方程。不過(guò)這樣還是比較莫名其妙，不知道怎么來(lái)的，而且也很難記...更進(jìn)一步的理解，需要看磁矢勢(shì)。磁矢勢(shì)形式的Biot-Savart定律為：

這個(gè)式子可以完全直接類比靜電場(chǎng)。把它做旋度就得到

所以沒(méi)有必要記origin形式的Biot-Savart定律，只需要磁矢勢(shì)形式就夠了。其實(shí)，靜電場(chǎng)中我們經(jīng)常先算\Phi再梯度得到E；靜磁場(chǎng)中也有一樣的技巧。

安培力定律

這無(wú)非是Biot-Savart+Lorentz罷了。

磁矢勢(shì)

靜電場(chǎng)用電勢(shì)研究在數(shù)學(xué)上比較簡(jiǎn)單。同樣，靜磁場(chǎng)用磁矢勢(shì)研究比較簡(jiǎn)單。

首先，因?yàn)榇艌?chǎng)無(wú)源，可以找到勢(shì)場(chǎng)A：

不過(guò)這是個(gè)矢量勢(shì)了，比電勢(shì)復(fù)雜。由此也可以看到磁場(chǎng)比電場(chǎng)麻煩。

電勢(shì)需要規(guī)定零點(diǎn)，比如無(wú)窮遠(yuǎn)處為0。同樣，磁矢勢(shì)也要規(guī)定“零點(diǎn)”。一般使用Coulumb規(guī)范：

這樣Maxwell方程就轉(zhuǎn)化為：

這就是一個(gè)Poisson方程，在數(shù)學(xué)上的formulation就完成了。既然有了Poisson方程，其解就可以類比Coulumb定律直接寫出來(lái)：

這是和Coulumb定律一樣直截了當(dāng)?shù)?。Coulumb規(guī)范需要驗(yàn)證一下，是成立的。這個(gè)式子似乎沒(méi)有專門的名字，不過(guò)我還是直接叫它（磁矢勢(shì)形式的）Biot-Savart定律，和Coulumb定律是counterpart。

Maxwell方程兩個(gè)式子比較莫名其妙，寫成等價(jià)的磁矢勢(shì)的Poisson方程在數(shù)學(xué)上就舒服多了。

應(yīng)用：Helmholtz線圈

這是平時(shí)極其常用的一個(gè)東西，是最簡(jiǎn)單的產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方法。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是這樣：

間距等于半徑的時(shí)候，中點(diǎn)最接近勻強(qiáng)磁場(chǎng)。具體的證明自己算一下就知道了。

積分形式的Maxwell方程

對(duì)于靜磁場(chǎng)，積分形式的Maxwell方程即為：

1.磁場(chǎng)的Gauss定律：

這個(gè)面積分稱為磁通量，單位為Weber。

2.Ampere環(huán)路定律：

它可以用來(lái)計(jì)算一些具有對(duì)稱性的磁場(chǎng)。

磁介質(zhì)

涉及材料，就必須引入特殊性的假設(shè)。目前先都采用分子電流觀點(diǎn)：

在此之前，我們得研究小圓電流圈的磁場(chǎng)，也就是磁偶極子。在電場(chǎng)中，電偶極子是多極展開(kāi)的第二項(xiàng)，所以并不是那么重要。然而對(duì)于磁場(chǎng)而言，它沒(méi)有磁單極子，多極展開(kāi)的第一階就是磁偶極子，所以磁偶極子具有本質(zhì)性的重要性。每個(gè)分子都是一個(gè)磁偶極子（其來(lái)源一是電流，二是自旋）。

姑且不去計(jì)算，完全類比介質(zhì)的極化。磁矩是\mu=Ia的極限。介質(zhì)中的磁矩密度叫做磁化強(qiáng)度M。

極化對(duì)電磁系統(tǒng)的干擾在于，極化會(huì)導(dǎo)致凈電荷的產(chǎn)生（極化電荷），影響了Maxwell方程中的電荷項(xiàng)；同理，磁化對(duì)這個(gè)電磁系統(tǒng)造成的干擾在于，磁化會(huì)導(dǎo)致凈電流的產(chǎn)生（磁化電流），影響了Maxwell方程中的電流項(xiàng)。【我們可以看Maxwell方程。如果不然Maxwell方程根本沒(méi)變，解也不變，有沒(méi)有介質(zhì)完全沒(méi)有影響】

那么，磁化如何產(chǎn)生凈電流？類比極化強(qiáng)度和極化電荷，我們很容易直觀看出：

另外還有一個(gè)效應(yīng)，就是如果極化強(qiáng)度隨時(shí)間變化的話，會(huì)產(chǎn)生電流（雖然在靜電/靜磁問(wèn)題中沒(méi)有），稱為極化電流：

把這些項(xiàng)代入Maxwell方程即可。

我們來(lái)總結(jié)一下關(guān)于介質(zhì)的一般結(jié)論（不要求特定假設(shè)）：

1. 出發(fā)點(diǎn)：真空Maxwell方程是永遠(yuǎn)成立的，不管介質(zhì)不介質(zhì)。如果在介質(zhì)中，除了自由電荷和自由電流之外，還會(huì)因?yàn)闃O化和磁化產(chǎn)生另外的電磁場(chǎng)，歸入\rho和j項(xiàng)就完事了。只不過(guò)為了只處理自由電荷和自由電流，我們?cè)跀?shù)學(xué)上做一些歸并，只留下自由的部分。介質(zhì)Maxwell方程并不是本質(zhì)的。同理，介質(zhì)中電磁能量密度也不是本質(zhì)的。

2. 整體的邏輯：

3.我們定義出了兩個(gè)新的物理量：電勢(shì)移（電位移矢量）D和磁場(chǎng)強(qiáng)度H。它們只是為了方便構(gòu)造出來(lái)的輔助量，并不能非說(shuō)它們有什么物理意義。

4.本構(gòu)關(guān)系。其實(shí)也就是P和M對(duì)于E和B的依賴關(guān)系。這個(gè)依賴關(guān)系可以是任意的，線性也好，非線性也好，局域也好，非局域也好，甚至可以依賴于過(guò)去的歷史（所以我們用方括號(hào)寫，表示泛函而不是函數(shù)）。這就完全依賴于材料了，有時(shí)候能通過(guò)凝聚態(tài)理論推出來(lái)，有時(shí)候完全就是實(shí)驗(yàn)近似。本構(gòu)關(guān)系就是我們一直說(shuō)的“特定性假設(shè)”。

5.新的Maxwell方程+本構(gòu)關(guān)系是complete的，想解什么就解什么。

不同介質(zhì)/不同本構(gòu)關(guān)系

這一小節(jié)討論不同的介質(zhì)，其實(shí)也就是不同的本構(gòu)關(guān)系。

【線性介質(zhì)】極化和磁化都是線性的，即本構(gòu)關(guān)系為：

這里面常數(shù)很多，要搞清楚：

• \chi_e，極化率，直接刻畫被極化的傾向；

• \epsilon_r，相對(duì)介電常數(shù)，是和真空介電常數(shù)的比值，沒(méi)有量綱，一定大于1；

• \epsilon，絕對(duì)介電常數(shù)；

• \chi_M，磁化率，這個(gè)是按照磁場(chǎng)強(qiáng)度定義的，不是很自然，不過(guò)已經(jīng)約定俗成了；可以正也可以負(fù)，看是順磁性還是逆磁性。

• \mu_r，相對(duì)磁導(dǎo)率；

• \mu，絕對(duì)磁導(dǎo)率。

【鐵磁性】線性介質(zhì)在撤走電場(chǎng)和磁場(chǎng)之后，極化和磁化就消失了。但是日常生活中我們看到鐵、鎳之類的物質(zhì)在磁化后會(huì)保持磁化。這樣本構(gòu)關(guān)系就必然不是單值函數(shù)了。

順帶一提，鐵磁體跟percolation是相聯(lián)系的。

物質(zhì)磁性的微觀解釋

原子的磁矩來(lái)自于三個(gè)方面：

1. 電子自旋；

2. 電子角動(dòng)量；

3. 核自旋，低很多量級(jí)，一般忽略。

如果總和非0，則自然有順磁性，從經(jīng)典眼光就可以理解。如果總和為0，則表現(xiàn)出抗磁性。這是一種量子效用，在有順磁性的時(shí)候基本會(huì)被掩蓋掉，只有磁矩為0的時(shí)候會(huì)體現(xiàn)出來(lái)。那些被認(rèn)為具有抗磁性的材料通常被非物理學(xué)家作為非磁性物質(zhì)看待。它們包括水，DNA，絕大多數(shù)有機(jī)化合物如石油和一些塑料，和金屬如水銀（元素），金和鉍。

靜磁場(chǎng)問(wèn)題的一般求解

靜電場(chǎng)問(wèn)題的一般求解歸結(jié)于Poisson方程。我們希望對(duì)于磁場(chǎng)也有類似的無(wú)腦方法。我們看到磁矢勢(shì)也滿足一個(gè)矢量Poisson方程。那么邊界條件怎么??？只要用積分形式一些就知道了，這里不再贅述。

接下來(lái)討論一下電磁感應(yīng)的問(wèn)題。說(shuō)起來(lái)無(wú)非就是：

積分形式為

感應(yīng)電場(chǎng)產(chǎn)生的是非靜電力。容易看出感應(yīng)電場(chǎng)方向可以由Lenz定律給出。

有時(shí)候會(huì)分感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。不過(guò)這并沒(méi)有什么所謂，最終都可以歸結(jié)到Maxwell+Lorentz上。糾結(jié)在感生電動(dòng)勢(shì)/動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)上的時(shí)候有時(shí)候會(huì)出一些毛病。費(fèi)曼舉了這樣一個(gè)例子：

一個(gè)光敏電阻在跑，有一段區(qū)域照有強(qiáng)光，這塊區(qū)域的電阻變成導(dǎo)體。根據(jù)Lorentz力公式，電阻上的電子會(huì)跑起來(lái)，形成電流。然而通量定則告訴我們沒(méi)有電動(dòng)勢(shì)。問(wèn)題出現(xiàn)在，Lorentz力公式和Maxwell方程總是對(duì)的，但通量定則則未必。這是個(gè)法拉第感應(yīng)定律不適用的案例。