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【趣味數(shù)學(xué)題】算額三圓題

2021-07-03 14:37 作者:AoiSTZ23 0人讀過 | 我要投稿

鄭濤 (Tao Steven Zheng) 著

【問題】

圖 1 顯示日本群馬縣（Gunma ken）的一道著名算額（sangaku）幾何問題。設(shè)左圓的半徑為 $%7Br%7D_%7B1%7D$ , 右圓的半徑為 $%7Br%7D_%7B2%7D$ , 中間圓的半徑為 $%7Br%7D_%7B3%7D$ , 求中間圓的半徑公式。

【題解】

設(shè)? $%7Br%7D_%7B1%7D%2C%20%7Br%7D_%7B2%7D%2C%20%7Br%7D_%7B3%7D$ ?分別表示左圓、右圓和中間圓的半徑。據(jù)圖 2,? $AG%3D%7Br%7D_%7B1%7D$ ,? $BH%3D%7Br%7D_%7B2%7D$ 和 $OC%3D%7Br%7D_%7B3%7D$ 。此外, $AE%3D%7Br%7D_%7B1%7D-%7Br%7D_%7B3%7D$ , $BF%3D%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B3%7D$ , $BD%3D%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B1%7D$ 和 $AB%3D%7Br%7D_%7B1%7D%2B%7Br%7D_%7B2%7D$ 。設(shè) $EO%3Dx$ 和 $FO%3Dy$ , 則 $AD%3Dx%2By$ 。

應(yīng)用勾股定理，得

$x%5E2%2B(%7Br%7D_%7B1%7D-%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2%3D(%7Br%7D_%7B1%7D%2B%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2$

$y%5E2%2B(%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2%3D(%7Br%7D_%7B2%7D%2B%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2%0A$

$(x%2By)%5E2%2B(%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B1%7D)%5E2%3D(%7Br%7D_%7B1%7D%2B%7Br%7D_%7B2%7D)%5E2%0A$

簡化以上三個方程式成

$x%5E2%3D4%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%0A%0A$

$y%5E2%3D4%7Br%7D_%7B2%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%0A%0A$

$(x%2By)%5E2%3D4%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%0A$

取正平方根，得

$x%3D2%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%0A%0A$

$y%3D2%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%0A%0A$

$x%2By%3D2%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%0A$

故得，

$%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%0A%0A$

$%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B3%7D%7D%20%20(%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%7D)%3D%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%0A%0A$

$%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%7D%7D%0A$