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S8G1 定角對定邊的軌跡

2020-12-14 08:12 作者:學(xué)用數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

在學(xué)圓周角時，都會知道一個重要的性質(zhì)，在圓上同一條弦所對應(yīng)的圓周角都相等。而這個其中一個特殊情況就是當(dāng)弦為直徑時，所對應(yīng)的圓周角為直角。這個定理還有個名稱是泰勒斯定理，由古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯 (Thales' BC 642 ~ BC 546)?最先發(fā)現(xiàn)。

對于等弦對等角這個特性，在考題上經(jīng)常以逆向的形式來出現(xiàn)。就是給定一個定直線AB，若有一個動點(diǎn)P 使得角 APB 為定角，則 P 點(diǎn)的軌跡為何？

在這節(jié)就要來用 Geogebra 來探討這個定理。并介紹幾個與這個定理相關(guān)的考題的 Geogebra 課件。

任務(wù)一：給定線段與定角顯示其軌跡

問題拆解思路：

* 要做出 ∠APB 為定角的點(diǎn) P 軌跡，關(guān)鍵在于找到圓心O。?

* 在這要利用同弧所對應(yīng)的圓心角∠AOB為周角角?∠APB的 2倍。先過點(diǎn)?O 對弦 AB 作垂線交 AB 于點(diǎn)?M ，此時有?∠APB=∠AOM?。

* 為了使得 ∠APB=∠AOM?，所以先作∠OAB=90°- ∠APB 。因此，O 點(diǎn)可通過 AB 的中垂線與將 AB 繞 A 轉(zhuǎn)?90°-?∠APB 的直線的交點(diǎn)。

作圖步驟：

# 基本設(shè)置

A = (-1,0)

B= (1,0)

M = (0,0)

# 找圓心

α = 60deg

rAB =??Rotate(line(A,B), 90deg-?α,A?)

pbAB =?PrependicularBisector(A,B)

O = intersect(rAB , pbAB)

# 作動點(diǎn)軌跡

caOAB = CircularArc(O, A, B)

P = Point(caOAB)

# 標(biāo)示角

sAP = Segment(A,P)

sBP = Segment(B,P)

aAPB = angle(A,P,B)

sAO = Segment(A,O)

sBO = Segment(B,O)

sMO =Segment(M,O)

aAOM = angle(A,O,M)

任務(wù)二：用滑動條來控制畫面的顯示

思路：

* 在課堂演示時，可建一個滑動條來讓圓心角與圓弧依序出現(xiàn)，可利用滑動條 hn 與 [顯示條件] 來達(dá)到這個效果。

步驟：

# 新增滑動條 hn

# 對圓心角相關(guān)的物件（O，sAO, sOM, ...) 的[設(shè)置][高級][顯示條件] 輸入?hn >=1 。

# 對圓周角上的物件（caAPM)?的[設(shè)置][高級][顯示條件] 輸入?hn >=2?。

# 新增動態(tài)文本，來將文本中的角度數(shù)值的會隨滑動條而改變。?

練習(xí)一：中考徐州2020-填充18

說明：這是個定角對定邊的基本問題，由定角構(gòu)造出輔助圓。要求最大面積就是找圓上離 AB 最遠(yuǎn)的點(diǎn)。?

練習(xí)二：建中科學(xué)班108多選2

說明：這題先利用 CP= BP 來構(gòu)造 P 點(diǎn)的位置，進(jìn)一步可觀察到 APB 為對定邊 AB 的定角，而分析出 P 位在以 M 為圓心的圓上。

補(bǔ)充：在 Geogebra 的制作上，是先利用幾何關(guān)系 CP = CB 來繪制出 P 點(diǎn)，再利用 Locus 指令來繪制出其軌跡。

總結(jié)與回顧

定角對定邊的制作主要使用輔助圓，最關(guān)鍵的就是圓心的構(gòu)造。關(guān)于這個模型在中考題中有許多的應(yīng)用，歡迎大家多找些相關(guān)的問題。日后也會將這些題整理在以下鏈接中。

https://www.geogebra.org/m/nyzwtyhm#chapter/582472