昨天居然忘寫題目了“Ep49：實(shí)數(shù)完備性定理第二發(fā)：單調(diào)有界原理”，在這里補(bǔ)一下，就不隨便編輯了，b站編輯文章太麻煩。

我們在Ep20提到：

“完備性”是“實(shí)數(shù)”完全不同于“有理數(shù)”的一個(gè)性質(zhì)。

——所以，由此可以導(dǎo)出許多“實(shí)數(shù)”獨(dú)有的定理。

以及——

“‘實(shí)數(shù)完備性/連續(xù)性’也是在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程中遇到的第一個(gè)重要的概念，以此為起點(diǎn)，導(dǎo)出的“實(shí)數(shù)連續(xù)性的六個(gè)定理”的相互推導(dǎo)，曾幾何時(shí)是“北大數(shù)學(xué)系考研”連續(xù)幾年《數(shù)學(xué)分析》的必出題，……，當(dāng)然這道題往往是其中的送分題，……，簡言之，就是，“實(shí)數(shù)的完備性”部分是數(shù)學(xué)系第一個(gè)要下功夫的學(xué)習(xí)重點(diǎn)?！?/span>

——實(shí)際上，實(shí)數(shù)基本原理有七個(gè)，但是聚點(diǎn)原理一般教材一元微積分部分不會(huì)深聊，所以我們掌握前六個(gè)翻來覆去的推導(dǎo)即可。

我們在Ep21聊了“實(shí)數(shù)完備性”的第一個(gè)定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們在Ep49聊了第二個(gè)定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

同時(shí)，我們介紹了如何從”確界原理“推導(dǎo)出”單調(diào)有界原理“——

以單增有上界為例——

1. 我們已知單增有上界數(shù)列{an}，這個(gè)數(shù)列中的所有項(xiàng)構(gòu)成了數(shù)集A，存在上確界a，使得其中任意元素an<=a；——上界的定義；

2. 對(duì)任意小數(shù)e>0，存在自然數(shù)N，使得aN>a-e；——上確界的性質(zhì)；

3. 由1、2，an<a+e；——上確界的性質(zhì)；

4. 由1、2、3，和數(shù)列單調(diào)性，得到對(duì)任意n>N，有a-e<aN<an<=a<a+e；

5. 我們復(fù)述2、4部分內(nèi)容：對(duì)任意小數(shù)數(shù)e>0，存在自然數(shù)N，對(duì)任意n>N，有a-e<an<a+e，即|an-a|<e，即a為數(shù)列{an}的極限。

我們再試著由”單調(diào)有界原理“推導(dǎo)出”確界原理“——

以非空有上界數(shù)集B為例——

如果數(shù)集B包含最大數(shù)M，易證M即為該數(shù)集的上確界；

如果數(shù)集不包含最大數(shù)，我們用“二分法”找出一個(gè)滿足B的上確界的定義的數(shù)即可——

1. 我們已知數(shù)集B非空，所以數(shù)集中必然存在元素b1屬于B；

2. 我們已知數(shù)集B有上界，即存在c1不屬于B，使得對(duì)于B中任意元素x，x<=c1；

3. 由1、2，b1<=c1；

4. 我們將區(qū)間[b1，c1]等分為兩份：[b1，（b1+c1）/2]和[（b1+c1）/2，c1]——

   如果（b1+c1）/2屬于B，則記b2=（b1+c1）/2，記c2=c1；

   如果（b1+c1）/2不屬于B，記c2=（b1+c1）/2，記b2=b1；

5. 我們將區(qū)間[b2，c2]等分為兩份：[b2，（b2+c2）/2]和[（b2+c2）/2，c2]——

   如果（b2+c2）/2屬于B，則記b3=（b2+c2）/2，記c3=c2；

   如果（b2+c2）/2不屬于B，記c3=（b2+c2）/2，記b3=b2；

6. ……

7. 我們將區(qū)間[bj，cj]等分為兩份：[bj，（bj+cj）/2]和[（bj+cj）/2，cj]——

   如果（bj+cj）/2屬于B，則記bj+1=（bj+cj）/2，記cj+1=cj；

   如果（bj+cj）/2不屬于B，記cj+1=（bj+cj）/2，記bj+1=bj；

8. 將上述過程無限進(jìn)行下去，我們得到了兩個(gè)單調(diào)數(shù)列{bn}和{cn}，其中——

   b1<b2<……<bj<bj+1<……<bn<……{bn}各項(xiàng)都屬于B；

   c1>c2>……>cj>cj+1>……>cn>……{cn}各項(xiàng)都是B的上界；

9. 因?yàn)锽有上界，所以{bn}單增有上界，有極限b；

10. 因?yàn)槿我鈔，都有cn>=b1，所以{cn}單減有下界，有極限c；

11. 又因?yàn)?lim（cn-bn?）=lim [（1/2）^（n-1）]（c1-b1）=（c1-b1）lim [（1/2）^（n-1）]=0；

12. 由11，c-b=lim cn-lim bn?=lim（cn-bn?）=0，則c=b；

13. 因?yàn)閷?duì)于B中任意元素x<=cn，所以x<=lim?cn=b；

14. lim?bn=b，即對(duì)任意e>0，存在N,，當(dāng)n>N時(shí)，|bn-b|<e，即b-e<bn<b+e；

15. 由13、14，知b為該數(shù)集的上確界。

利用“單調(diào)有界原理”證明其他定理的核心技巧，就是這里的“二分法”，乍一看有點(diǎn)復(fù)雜，多默寫幾遍就好了。

明天休息！