首先我們明確本章考察對象：

（注意連續(xù)函數(shù)等式成立以及以下定理的B均指球）

那么先觀察極大函數(shù)的性質(zhì)：

證明此定理之前，先證明一個引理（Vitali第一覆蓋）：

證明如下：（構造）

這下回到定理3.1:

第一部分即按照可測函數(shù)的定義（并注意開集可測）和極大函數(shù)中sup的性質(zhì)即可：

第三部分則就可利用Vitali第一覆蓋：

再得到所有緊子集成立后，則對自己本身也成立（可以用緊集逼近）。

第二部分只需證明等于無窮的集合為零測集即可：

對定理3.1澄清一些性質(zhì)：

首先明確證明目標：

由于f的性質(zhì)可能不夠好，我們可以利用緊支撐逼近：

改寫：

則令：

利用Tchebychev不等式和Vitali第一覆蓋：

下面注意勒貝格集和勒貝格密度：

證明如下：

按照勒貝格集定義，以及利用有理數(shù)可數(shù)并且在R上稠密

對此有思考：

接下來觀察正則收縮：

利用正則收縮的定義轉(zhuǎn)換成球情形即可：