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設(shè)是一個主理想整環(huán)，M是D上的有限生成模，以下對M的結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論。

一、主理想整環(huán)上的自由模

? ? ? ? 我們思考如何對一個有限生成模進(jìn)行討論，由前面自由模的性質(zhì)知，對任意由生成的模，我們都有模同態(tài)：

,? 使??，而??是自由模??的子模，這啟示我們想研究M的結(jié)構(gòu)，就要先對自由模的子模進(jìn)行研究。

定理1：主理想整環(huán)上自由模的子模仍是自由模，且子模的秩不大于原來模的秩。

證明：采用歸納法，不在此贅述。

? ? ? ? 這是研究主理想整環(huán)上有限生成模的最核心定理之一，如今我們已經(jīng)明確了是兩個自由模的商模，對于自由模我們可以用一組基來確定它的結(jié)構(gòu)，那么這兩組自由模是否各存在一組基，能夠像線性空間與其子空間的基一樣緊密相聯(lián)，從而方便我們確定二者商模的關(guān)系呢？我們的答案是肯定的。

定理2：設(shè)M和N是兩個自由模，對任意模同態(tài)：，都存在兩組基{} 和 {}，滿足：

(i) 對?;

(ii) 對?;

(iii)?對?.

證明：利用主理想整環(huán)上矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型易得。

? ? ? ? 將結(jié)論應(yīng)用到??上，我們就得到了

由此，我們下面可以正式開始討論有限生成模M的結(jié)構(gòu)。

二、主理想整環(huán)上有限生成模的結(jié)構(gòu)

? ? ? ? 先給出幾個定義

定義1：??，稱該子集為 u 的零化子，零化子集既是D模的子模，又是D作為環(huán)的理想。

定義2：?若ann(u)={0} ,則稱u為自由元，若否則稱其為扭元

若M沒有扭元，則稱M為無扭模；若M中所有元素都是扭元，則稱M為扭模。

注意：自由模不一定是無扭模

定理3：若M是D上的有限生成模，則存在???,使得

滿足?

證明：利用定理2的推論易。

? ? ? ? 而由于零化子從某一項開始恒等于0，我們知道，M其實可以分為一個扭模和一個無扭模的直和。再對無扭模應(yīng)用定理3，得到結(jié)論：

在主理想整環(huán)上，無扭模一定是個自由模。

于是，我們得到了有限生成模M的結(jié)構(gòu)：

? ? ? ? 到這一步，我們已經(jīng)初步得到了PID上有限生成模的結(jié)構(gòu)，接下來要做的工作就是在這樣的直和分解下，去尋找在同構(gòu)意義下的不變量，從而判斷兩個有限生成模是否同構(gòu)。

大概明天會更剩下的，應(yīng)該不鴿