Unit8(8.1-8.4) 多元函數(shù)微分

一、導(dǎo)言：

在學(xué)完了空間坐標(biāo)系之后，我們的目光從二維的平面投向三維的空間，點(diǎn)不再僅僅存在于一個(gè)平面上，而是存在于立體的空間之中。而一組點(diǎn)，也就是點(diǎn)集，為了方便探討它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，我們用多元的方程來(lái)描述點(diǎn)。

在之前，點(diǎn)的領(lǐng)域包括數(shù)軸正負(fù)兩個(gè)方向。趨近某點(diǎn)時(shí)，只會(huì)有左趨近和右趨近兩種方式，而放在平面中，點(diǎn)的領(lǐng)域呈現(xiàn)圓形，有不同種方式趨近它。平面上，由點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集與點(diǎn)形成關(guān)系，分為內(nèi)點(diǎn)，邊界點(diǎn)，外點(diǎn)，聚點(diǎn)，孤立點(diǎn)。而又根據(jù)點(diǎn)集本身性質(zhì)，分為開集，閉集，連通集，以及有界集與無(wú)界集。這些關(guān)系都將在正文細(xì)說(shuō)。

在研究完點(diǎn)之后，我們將目光投向多元函數(shù)。多元函數(shù)，顧名思義就是一個(gè)函數(shù)里不再只有一個(gè)變量，而是有多個(gè)變量，而且通常情況下，這些變量之間是沒有聯(lián)動(dòng)關(guān)系的，說(shuō)白了就是各變各的，x動(dòng)不影響y也動(dòng)。主要知識(shí)點(diǎn)包含了多元函數(shù)的極限，連續(xù)，偏導(dǎo)，微分（全微分，偏微分），其實(shí)都是從一元函數(shù)中汲取理論來(lái)研究多元函數(shù)。

二、正文

Ⅰ點(diǎn)集（在二維平面上的）：E={（x，y）}|（x，y）滿足條件T}

1.點(diǎn)集領(lǐng)域

（1）領(lǐng)域： U（P0,δ），表示P點(diǎn)，|PP0|<δ，

即[（x-x0）^2+(y-y0)^2]^0.5<δ

（2）去心領(lǐng)域：U*o（這里特指去心領(lǐng)域）（P0,δ），表示P點(diǎn)，0<|PP0|<δ，

即0<[（x-x0）^2+(y-y0)^2]^0.5<δ,不包含P0點(diǎn)

2.點(diǎn)集

（1）關(guān)系

①內(nèi)點(diǎn)：ョU(P)，st ?U（P）?E。 簡(jiǎn)單理解，就是一片區(qū)域的點(diǎn)中，點(diǎn)在這片區(qū)域的內(nèi)部

②外點(diǎn)：ョU(P)，st U（P）∩E=?。 簡(jiǎn)單理解，就是一片區(qū)域的點(diǎn)中，點(diǎn)在這片區(qū)域的外部

③邊界點(diǎn)：?U（P）,st此領(lǐng)域既有E中的點(diǎn)，也有E外的點(diǎn)，記為?E

④聚點(diǎn)：?δ>0，st? U*o（P,δ）∩E≠?。簡(jiǎn)單理解，就是包括所有內(nèi)點(diǎn)，以及不作為孤立點(diǎn)的邊界點(diǎn)）

⑤孤立點(diǎn)：ョδ>0，st U(P)∩E={P}，簡(jiǎn)單理解就是一片點(diǎn)外孤立一個(gè)點(diǎn)，呈現(xiàn)飛島狀，就是這種點(diǎn)是邊界點(diǎn)，但不是聚點(diǎn)。

（2）集

①開集：由內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成開集

②閉集：閉集=開集+邊界

③連通集：點(diǎn)集任意兩點(diǎn)，可以用包含于E的折線（即線的所有點(diǎn)都在E內(nèi)）連接。

④連通的開集：（開）區(qū)域；連通的開集+邊界=閉區(qū)域

（3）有界集與無(wú)界集：

ョδ>0，st E?U（0，δ），則E有界，且其直徑為D=max{|P1P2|}，若不存在，則稱E無(wú)界。通俗理解，就是以原點(diǎn)為圓心，畫一個(gè)圓，如果有一個(gè)圓可以包含點(diǎn)集，那么就是有界的，如果找不到這種圓，就是不存在的

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Ⅱ多元函數(shù)及其性質(zhì)

1概念

（1）多元函數(shù)定義（這里主講二元函數(shù)）：z=f（x，y），（x，y）∈D

也可寫作z=f（P），P∈D

那么f（D）表示z值整體，即值域，f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}

（2）性質(zhì)：多元函數(shù)的性質(zhì)與一元函數(shù)類似，比如有界無(wú)界性質(zhì)，以及閉區(qū)間的最值定理，介值定理，與一元函數(shù)相似，不贅述了。

2極限：多元函數(shù)的極限是重中之重，在后面定義法求導(dǎo)數(shù)里有著極為重要的運(yùn)用，求法也不像一元函數(shù)極限一樣手段單一。

（1）定義（并不重要，大概不會(huì)出題考）

Z=f（x，y），D?R^2（就是坐標(biāo)平面），P0（x0，y0）為D的聚點(diǎn)，

ョA，?ε>0，ョδ>0，使得P（x，y）∈【U*o（P0，δ）∩D】時(shí)，有

|f（x，y）-A|<ε

則：lim f（x，y）=A

x→0

y→0

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其它寫法：

①Lim（P→P0）f（P）=A

②Lim f（x，y）=A

（x，y）→（x0，y0）

③Lim f（x，y）=A

|PP0|→0

（2）兩種題型：求極限與證明極限不存在

①存在：如果極限存在，那么說(shuō)明無(wú)論任何方向趨近該點(diǎn)，極限值都是相等的。而且若下述三者均存在，則三者相等，Lim f（x，y）|（x，y）→（x0，y0）

=lim（x→x0）【lim（y→y0）f】

=lim（y→y0）【lim（x→x0）f】

求極限有很多種手段，

有x，y整體換元法：

令t=xy，x，y趨于0時(shí)t也趨于0

原式=lim（t→0）【2-（t-4）^0.5】/t

用洛必達(dá)法則，求得結(jié)果為-1/4

有均值不等式放縮，利用夾逼準(zhǔn)則，湊有界乘以無(wú)窮小：

根據(jù)均值不等式：x^2+y^2>=2xy

原式=x xy/（x^2+y^2）

|xy/（x^2+y^2）|<0.5，為有界量， x趨于0

所以原式=0

也有最常見的定一求一法：

②不存在：以不同路徑趨于P時(shí)極限值不一樣或者有不存在的情況。解決證明極限不存在的題目的核心要義就是“搞破壞”，就是找到兩條路徑，使得極限值不一樣，只要找到兩個(gè)不一樣就是不存在。

例證：

①令x=ky

②原式=lim（x→0）（y→0）（ky2+y2）/k2y2+y2= （k+1）/k2+1

③當(dāng)k取值不同時(shí)，極限值不唯一，故不存在

3.連續(xù)

（1）定義（函數(shù)值等于極限值，以及x，y趨于0時(shí)z變化為0）

①lim f（P0）=f（x0，y0）

|PP0|→0

②lim Δz=0

Δx→0，Δy→0

（2）連續(xù)函數(shù)：一元，二元的基本初等函數(shù)以及其有限四則運(yùn)算，復(fù)合運(yùn)算的函數(shù)連續(xù)

（3）間斷點(diǎn)，間斷線：多元函數(shù)的間斷點(diǎn)很容易組成間斷線，本質(zhì)是定義域的取舍。

4.偏導(dǎo)

（1）概念：定義法求偏導(dǎo)：（以對(duì)x偏導(dǎo)為例）

Lim??? 【 f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）】/Δx

Δx→0

=?z/?x |x=x0，y=y0

=Zx（x0，y0）

（2）幾何意義：fx（x0，y0）為P0處切線對(duì)x軸的斜率。當(dāng)然了，對(duì)什么字母偏導(dǎo)就是對(duì)此軸的斜率

（3）高階：

?/?x（?z/?y）=?^2 z/（?y ?x）=f yx（x，y）（先對(duì)y求偏導(dǎo)，再對(duì)x求偏導(dǎo)。本質(zhì)就是先把y看成唯一的自變量，x看為參數(shù)，后面在把y看成參數(shù)，

X看成自變量的過(guò)程，本質(zhì)就是多元函數(shù)的一元研究方式）

重點(diǎn)：如果f yx（x，y），f xy（x，y）在D區(qū)間內(nèi)連續(xù)，那么兩者就相等。

5.微分

（1）偏增與全增

①偏增（以x為例子）ΔZx=f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）

②全增：ΔZ=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）

③可微：如果Δz可以表示為：AΔx+BΔy+o（ρ），ρ=[Δx^2+Δy^2]^0.5

那么則稱此點(diǎn)可微。你看這個(gè)地方，還是Δz可以表示為Δx，Δy的線性形式，在趨于0時(shí)得到化曲為直的效果，那么既然在趨近0時(shí)可以線性表示，此點(diǎn)便是可微的。如果D內(nèi)各點(diǎn)都是可微的，那么D區(qū)間就是可微區(qū)間。

（2）可微必然導(dǎo)致連續(xù)，而如果z=f（x，y）在U（P0）內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)，則P0處可微.下面要證明全微分公式：dz=?z/?x dx+?z/?y dy 。這個(gè)公式細(xì)化了A,B的具體指代。

①全增轉(zhuǎn)偏增：

Δz|P0=

【f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0+Δx，y0）】+【f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）】

②拉格朗日中值：

f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0+Δx，y0）=f（x0+Δx，θΔy+y0）Δy

θ1在0到1之間

同理f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）= f（x0+θ2Δx，y0）Δx

③P0（x0，y0）連續(xù)

Lim fy（x0+Δx，θΔy+y0）=fy（x0，y0）

Δx→0，Δy→0

④類似于泰勒展開時(shí)的佩亞諾余項(xiàng)

f（x0+Δx，θΔy+y0）= fy（x0，y0）+α

α=o（ρ）

同理f（x0+θ2Δx，y0）=fx（x0，y0）+β

β也為ρ的高階無(wú)窮小

⑤Δz|P0=

fy（x0，y0）Δy+αΔy+ fx（x0，y0）Δx+βΔx

⑥根據(jù)定義，如果Δz可以表示為：AΔx+BΔy+o（ρ），ρ=[Δx^2+Δy^2]^0.5 ?，那么則稱此點(diǎn)可微。

只需要證明αΔy+βΔx為ρ的高階無(wú)窮小即可（兩個(gè)和分別除以ρ即可得證）

⑦Δx→0，Δy→0時(shí)，Δy=dy，Δx=dx，fy（x0，y0）= ?z/ ?y|P0

fx（x0，y0）= ?z/ ?x|P0

6.求導(dǎo)：

（1）歸一求導(dǎo)：z=f（u，v），u=u（t），v=v（t），那么此時(shí)z其實(shí)本質(zhì)就是一個(gè)關(guān)于t的一元函數(shù)，化多為一方便求導(dǎo)。證明下述公式很簡(jiǎn)單：就是在全微分的基礎(chǔ)上整體除以dt

dz/dt=?z/?u x du/dt +?z/?v x dv/dt

（2）多元套多元：

Z=f（u，v），u=（x，y）， v=（x，y）

以求Zx偏導(dǎo)為例：

?z/?x=?z?u x ?u?x+?z?v x ?v?x

（3）全微分不變性

①條件：Z=f（u，v），u=（x，y）， v=（x，y）

②結(jié)論：dz=?z/?x x dx+?z?y x dy =?z/?u x du+?z?v x dv

③證明：

（4）變量相關(guān)型

①?^2z/（?y?x）=【?（?z/?y）】/?x

②?z/?y=xcos（xy）+?φ/?y

③?φ/?y=φ1（x，x/y）dx/dy+φ2（x，x/y）d（x/y）/dy

=-φ2（x，x/y）x (y)^-2

這里φ1，φ2表示對(duì)位于第一項(xiàng)/第二項(xiàng)變量中的y求導(dǎo)

④?z/?y=xcos（xy）-φ2（x，x/y）x (y)^-2

⑤【?（?z/?y）】/?x=cos（xy）+xsin（xy）（-y）

-y^-2 φ2（x，x/y）-x/y^2 ?φ2/?x

⑥?φ2/?x=φ21（x，x/y）dx/dx+φ22（x，x/y）d（x/y）/dx

這里φ21中的1指的是對(duì)φ2這個(gè)函數(shù)的第一項(xiàng)中的x求導(dǎo)，φ22同理

⑦∴原式=cos（xy）-xysin（xy）-y^-2 φ2（x，x/y）

-x （y^-2） φ21（x，x/y）-x (y^-3) φ22（x，x/y）

⑧fx（x，x/y）與f1（x，x/y）（偏導(dǎo)x）的區(qū)別：

前者是對(duì)函數(shù)內(nèi)所有x求偏導(dǎo)，后者是對(duì)第一項(xiàng)變量含有的x求偏導(dǎo)

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