第十九章 函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)

一、知識(shí)點(diǎn)

1. 函數(shù)凹凸性：
2. 定義：
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   03:28

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3. 幾何意義：
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   05:55

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4. 判別法——凹凸性的充分條件：
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   31:60

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5. 條件：f(x)在[a,b]連續(xù)，(a,b)具有一階、二階導(dǎo)數(shù)
6. 結(jié)論：
7. 若在(a,b)內(nèi)f''(x)>0，則f(x)在[a,b]上是凹的
8. 若在(a,b)內(nèi)f''(x)<0，則f(x)在[a,b]上是凸的
9. 拐點(diǎn)：
10. 現(xiàn)實(shí)應(yīng)用：
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    16:38

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11. 定義：
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    23:26

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12. 連續(xù)曲線上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)。
13. 拐點(diǎn)的必要條件：
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    30:08

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14. 內(nèi)容：
15. (x0,f(x0))為拐點(diǎn)=>f''(x0)=0或f''(x0)不存在
16. 注解：
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    28:01

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17. f''(x0)=0推不出(x0,f(x0))為拐點(diǎn)
18. (x0,f(x0))為拐點(diǎn)，f''(x0)不一定為0
19. 拐點(diǎn)的判別法——3個(gè)充分條件：
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    01:14:59

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20. 第一充分條件：
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    01:15:30

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21. 條件：設(shè)f(x)在x=x0處連續(xù)，在x0的某去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，并且在該點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)f''(x)變號(hào)
22. 結(jié)論：則點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線的拐點(diǎn)
23. 注解：
24. 拐點(diǎn)和極值點(diǎn)的共同點(diǎn)：都是局部概念
25. 極值點(diǎn)只寫橫坐標(biāo)，但拐點(diǎn)必須寫完整坐標(biāo)
26. 第二充分條件：
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    01:20:27

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27. 條件：若f(x)在x0某鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)，且f''(x0)=0，f'''(x0)不等于0
28. 結(jié)論：則(x0,f(x0))為拐點(diǎn)
29. 第三充分條件：
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    01:27:40

    ?
30. 條件：如果f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f''(x0)=f'''(x0)=…f(x0)的n-1階導(dǎo)數(shù)都為0，f(x0)的n階導(dǎo)數(shù)不為0，（n>-3).且n為奇數(shù)?！静灰笠浑A導(dǎo)數(shù)為0】
31. 結(jié)論：則(x0,f(x0))為拐點(diǎn)
32. 琴生不等式：
    ?

    01:44:58

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33. f(x)在[a,b]連續(xù)，f''(x)>0，對(duì)任意x1,x2屬于[a,b]，且0<λ<1，有f[λx1+(1-λ)x2]<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)
34. 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取
35. f(x)在[a,b]連續(xù)，f''(x)>0，取xi屬于[a,b]，（i=1,2,3...n). 及λi>0(i=1,2,...,n)，滿足λ1+λ2+...+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)<=λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)
36. 關(guān)于比值極限的一些結(jié)論：
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    01:55:36

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37. lim (u/v) =c且lim v =0，則lim u =0
38. lim (u/v) =c且c不等于0，若lim u=0，則lim v=0

二、證明

1. 證明凹凸性的充分條件：
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   33:41

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2. 證明判斷拐點(diǎn)的第二充分條件：
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   01:23:23

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3. 證明判斷拐點(diǎn)的第三充分條件：
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   01:29:32

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4. 勘誤：這里應(yīng)該是(x-x0)的3次方
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   01:39:23

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三、計(jì)算

1. 已知極限，求函數(shù)某點(diǎn)的性質(zhì)：
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   02:06:53

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2. 已知導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求函數(shù)某點(diǎn)的性質(zhì)：
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   02:12:51

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3. 看圖像求拐點(diǎn)（注意畫的是誰(shuí)的圖像，是原函數(shù)的還是一階導(dǎo)的還是二階導(dǎo)的）：
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   02:23:07

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4. 第一次做不會(huì)：
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   02:25:06

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5. 因?yàn)橛疫叺膬蓚€(gè)式子都可導(dǎo)，則等式左邊的函數(shù)可導(dǎo)。兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積函數(shù)一定可導(dǎo)。
6. 式子兩邊對(duì)x求導(dǎo)，有的乘了y'有的忘乘了