? ? ? ? ? ?緊致性遠(yuǎn)不及連通性那樣自然。在拓?fù)鋵W(xué)的最初階段，人們就已經(jīng)注意到實(shí)直線上閉區(qū)間[a,b]具有一種特性，它對(duì)于證明極大值定理和一致連續(xù)性 定理等結(jié)論起著至關(guān)重要的作用。但對(duì)于在任意拓?fù)淇臻g中如何表述這個(gè)特性。人們長(zhǎng)期不得而知。起初，人們以為[a,b]的這一特性所指的是[a,b]中任何一個(gè)無(wú)窮子集都有極限點(diǎn)，并且將其尊稱(chēng)為緊致性。

? ? ? ? ? ? ?后來(lái) ，數(shù)學(xué)家們才意識(shí)到這種提法并未觸及問(wèn)題的本質(zhì)，而籍助空間的開(kāi)覆蓋所給出的一個(gè)較強(qiáng)的提法更為恰切。后面這種提法就是我們現(xiàn)在所講的緊致性。它不像前者那樣自然或直觀，在展示其效用之前我們需要先來(lái)熟悉它。

定義? ?設(shè)A是空間X的一個(gè)子集族，如果A的成員之并等于X，則稱(chēng)A覆蓋X，或者稱(chēng)A是X的一個(gè)覆蓋。如果A的每一成員都是X的開(kāi)子集，則稱(chēng)它為X的一個(gè)開(kāi)覆蓋。

定義? 若X的任何一個(gè)開(kāi)覆蓋A，包含著一個(gè)覆蓋X的有限子族，則稱(chēng)空間X是緊致的。

例子? 任何一個(gè)僅含有限多個(gè)點(diǎn)的空間必然是緊致的，因?yàn)榇藭r(shí)X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都是有限的。

一般來(lái)說(shuō)，判定一個(gè)空間是否是緊致空間并非總是輕而易舉的。

我們先來(lái)證明關(guān)于子空間的一些結(jié)論。設(shè)Y是X的一個(gè)子空間，A是X的一個(gè)子集族，如果它的成員之并包含著Y，則稱(chēng)A覆蓋Y。

引理? 設(shè)Y是X的一個(gè)子空間，那么，Y是緊致的當(dāng)且僅當(dāng)由X的開(kāi)集所組成的Y的每一個(gè)覆蓋都包含著一個(gè)覆蓋Y的有限子族。

定理? 緊致空間的每一個(gè)閉子集都是緊致的。

定理? ?Hausdorff空間的每一個(gè)緊致子空間都是閉的。

引理? 設(shè)Y是一個(gè)Hausdorff空間X的一個(gè)緊致子空間，X0不屬于Y，則存在X中的兩個(gè)無(wú)交的開(kāi)集U和V，它們分別包含X0和Y。

定理? 緊致空間的連續(xù)像是緊致的。

定理 設(shè) f ；X→Y是一個(gè)連續(xù)的一一映射。若X是緊致的，并且Y是Hausdorff的，則f是一個(gè)同胚。

定理? ? 有限多個(gè)緊致空間的積是緊致的。