前言：這是一個(gè)非常水的上篇！你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)封面是4月01期（沒錯(cuò)！這是4月的項(xiàng)目?。?，原本打算一篇做完的，但已經(jīng)三個(gè)月沒動(dòng)了，那就分成上下篇吧，把已經(jīng)做好的基礎(chǔ)先發(fā)出來(lái)，供一些初中生基礎(chǔ)用用～

如有錯(cuò)誤與不足，歡迎指出，同時(shí)歡迎友善討論。（出現(xiàn)公式不可見了 改天補(bǔ)救下orz）

1.三點(diǎn)共圓（三點(diǎn)定圓）

在初中課程中，我們已經(jīng)基礎(chǔ)地學(xué)習(xí)過“圓”。在所有有關(guān)于圓的定理中，有一條“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”。那么，我們?cè)撊绾巫C明它呢？

下面給出兩種方法。

1.?在??中，已知（如圖1），求證三點(diǎn)在一個(gè)圓上。

對(duì)于此題，我們可以作線段的垂直平分線得中點(diǎn)，連接（如圖2），證明即可。證明如下：

作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接.

因?yàn)??的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，

所以??，.

所以??.

所以??三點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上.

2. 現(xiàn)有（如圖3），求證點(diǎn)三點(diǎn)共圓。

現(xiàn)在，這個(gè)三角形變成了三條邊各不相等，三個(gè)角也各不相等的三角形，那如何去證明點(diǎn)三點(diǎn)共圓呢？

在初中，我們分別學(xué)習(xí)過三角形的內(nèi)心及外心。內(nèi)心指的是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心；外心指的是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。

則我們可以作三條垂直平分線（如圖4），證明其交點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)距離相等，即可證明點(diǎn)三點(diǎn)在同一圓上。證明如下：

如圖，分別作的中垂線，分別交于點(diǎn)。

由于三點(diǎn)不共線，因此的中垂線必定交于某一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn).

分別連接，

因?yàn)??的中垂線交于點(diǎn)，

所以??，，

所以??

所以? 點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上.

自此，有關(guān)證明三點(diǎn)共圓（三點(diǎn)定圓）的方法就已證明完畢。

2.四點(diǎn)共圓

四點(diǎn)共圓是幾何中一個(gè)非常常見及實(shí)用的一個(gè)模型，同時(shí)也是解析幾何的一組成部分。接下來(lái)，讓我們用幾種方法來(lái)證明平面上的四點(diǎn)共圓。

在“《數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書（第二版）》初中卷五·圓”中，對(duì)四點(diǎn)共圓的判定的常見結(jié)論有以下五種：

1. 若干個(gè)點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等，則這些點(diǎn)在同一圓周上；

2. 若四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)或有一外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓；

3. 若點(diǎn)在線段的同側(cè)，且，則四點(diǎn)共圓；

4. 若兩線段相交于點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓；

5. 相交線段上分別有異于的點(diǎn)，且，則四點(diǎn)共圓。

除以上五點(diǎn)外，我們同樣可以使用反證法等方法證明四點(diǎn)共圓。

接下來(lái)，我們將會(huì)使用以上六種結(jié)論（方式）證明四點(diǎn)共圓。

1. 已知有，分別是邊上的高（如圖5），求證四點(diǎn)共圓。

對(duì)于此題，我們可以分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)（設(shè)為），通過證明相等來(lái)證明四點(diǎn)共圓。證明如下。

因?yàn)??分別為的兩邊的高

所以??

所以??和是直角三角形

設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，分別連接（如圖6）

有??

所以??

所以??在以點(diǎn)為圓心，（）為半徑的圓上。

同樣，我們也可以使用反證法證明此題。

所謂反證法，即首先假設(shè)某命題成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說原假設(shè)不成立，原命題得證。

我們可以假設(shè)四點(diǎn)不共圓。

設(shè)有直線與圓有交點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理，有，連接

因?yàn)??分別為的兩邊的高

所以??

則有??

這與三角形外角和定理（三角形的一個(gè)外角等于其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）相矛盾。

故假設(shè)不成立。

因此??四點(diǎn)共圓。

我們也可以通過第三條結(jié)論，直接得出四點(diǎn)共圓。

因?yàn)??分別為的兩邊的高

所以??

所以??四點(diǎn)共圓

此結(jié)論類似圓周角定理。同圓或等圓的圓周角相等，又因?yàn)樾边叄ㄓ幸粭l邊）共邊，則四個(gè)點(diǎn)必定在同圓上，則四點(diǎn)共圓。

因此，若兩點(diǎn)在同側(cè)，且各有直角，斜邊共線，則證明四點(diǎn)共圓的方法至少有三種。

至此，該題證明完畢，同時(shí)對(duì)第一條、第三條結(jié)論及反證法進(jìn)行了舉例說明。

對(duì)于有兩個(gè)直角三角形且它們的斜邊共邊的圖形，都可以使用此種方法證明四點(diǎn)共圓。

如：現(xiàn)有和（如圖7），求證四點(diǎn)共圓。

類似的，我們也可以通過找出中點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，連接（如圖8），證明相等來(lái)證明四點(diǎn)共圓（證明略）。兩個(gè)直角三角形異側(cè)如此，同側(cè)也如此。

同樣，對(duì)于如圖7的圖形，我們也可以使用第二條結(jié)論，即“若四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)或有一外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓”。

已知，則與互補(bǔ)。

則四點(diǎn)共圓。

這也是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。

上篇就到此結(jié)束啦！其實(shí)這篇水的要死，不看都行ovo.

下篇？新建文件夾.jpg……

參考資料：

[1]數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書（初中卷）四點(diǎn)共圓

[2]從三點(diǎn)定圓到四點(diǎn)共圓——Zachariah

鏈接：

參考資料[2]：https://zhuanlan.zhihu.com/p/42561349