大連海事大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試大綱

考試科目：高等代數(shù)

試卷滿分及考試時間：試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

考試內(nèi)容

一、多項式

1.多項式的帶余除法、整除性，最大公因式、互素多項式。

2.不可約多項式，因式分解唯一性定理，重因式，復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式不可約的判定。

3.多項式函數(shù)與多項式的根，有理系數(shù)多項式有理根的求法，根與系數(shù)關(guān)系。

二、行列式

1．n階行列式的概念和基本性質(zhì)，行列式的子式、余子式以及代數(shù)余子式。

2．行列式按行(列)展開定理，范德蒙德行列式，克拉姆法則，拉普拉斯定理，行列式乘積規(guī)則。

3.行列式的計算。

三、線性方程組

1.向量空間。

2．向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)。

3．向量組的極大線性無關(guān)組，向量組的秩。

4．等價向量組的概念和性質(zhì)。

5．矩陣的秩。

6．求解線性方程組的消元法。

7．線性方程組有解的判定，齊次線性方程組有非零解的充要條件。

8．齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，解空間。

9．非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)和通解。

四、矩陣

1．矩陣的加法、乘積、方冪、轉(zhuǎn)置等運算及性質(zhì)。

2．矩陣的初等變換，矩陣的等價，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。

3．初等矩陣的概念和性質(zhì)。

4．逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件，用伴隨矩陣及初等變換求逆矩陣。

5．分塊初等矩陣及應(yīng)用。

五、二次型

1．二次型的矩陣表示及秩。

2．用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(配方法，初等變換法)。

3．合同矩陣、對稱陣在合同變換下的標(biāo)準(zhǔn)形。

4．用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

5．復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，慣性定理。

6．正、負(fù)定二次型(或正、負(fù)定矩陣)的判定。

六、線性空間

1．線性空間、基底、維數(shù)及坐標(biāo)等概念。

2．線性空間的基變換與坐標(biāo)變換、過渡矩陣。

3．線性子空間及其交與和的基與維數(shù)、維數(shù)公式。

4．線性子空間的直和。

5．線性空間的同構(gòu)。

七、線性變換

1．線性變換的概念、矩陣表示、秩、運算及在給定基下的矩陣。

2．線性變換（矩陣）的特征值與特征向量的概念、性質(zhì)。

3．相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)。

4．線性變換（矩陣）可相似對角化的充要條件。

5．正交矩陣、實對稱陣及其性質(zhì)。

6．值域與核的基與維數(shù)。

7．不變子空間。

8．哈密爾頓-凱萊定理，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項式。

八、-矩陣

1.-矩陣的初等變換，-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子以及三種因子之間的關(guān)系。

2.-矩陣的等價與數(shù)字矩陣的相似。

3.若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的理論推導(dǎo)。

九、歐氏空間

1．向量的內(nèi)積、范數(shù)(長度)、夾角。

2．施密特正交化過程，標(biāo)準(zhǔn)正交基。

3．正交子空間和正交補。

4．正交變換和對稱變換的概念和性質(zhì)。

5.實對稱陣正交相似于對角陣的計算。

參考書目

1．課程教材：《高等代數(shù)》（第五版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編（王萼芳、石生明修訂），高等教育出版社，2019年。

2．參考資料：徐仲等編，《高等代數(shù)導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)考(第四版)》，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2014年。

3．參考資料：孫怡東主編，《高等代數(shù)輔導(dǎo)》（第二版），大連海事大學(xué)出版社，2023年。

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