本文適用于與@一塊電鹿板 這位up主的第一期微積分課堂搭配，用于梳理強(qiáng)化對于函數(shù)的思路

避雷：

寫的人沒有初中學(xué)歷（事實(shí)上也沒有小學(xué)學(xué)歷，當(dāng)我個(gè)民科吧），而且多處不嚴(yán)謹(jǐn)，還請指教

集合，可以形容為一個(gè)特殊的值，它包含了很多個(gè)其他的、獨(dú)立或也是集合的值，這些值稱為“項(xiàng)”

集合通常被定義為：由一個(gè)或多個(gè)確定的元素所組成的整體，其中，元素可以是任何類型的數(shù)學(xué)對象，例如數(shù)字、符號、變量、空間中的點(diǎn)、線、面，甚至是其他集合。

x={1,2,3,4,5}，這就是一個(gè)集合的例子

拓展：∈符號表示“屬于”關(guān)系，相當(dāng)于韋恩圖中的包含關(guān)系。上面定義了x，其中5∈x。?表示不屬于，上面定義了x集合，其中6?x?！屎?的關(guān)系類似=和≠。這里?看起來小一些是字體問題。

N，是一個(gè)特殊的集合，特殊在被世界預(yù)先定義好了

N，包含了所有自然數(shù)，即大于或等于0的整數(shù)

明白了這點(diǎn)，我們可以更改一下x。

x=N

而此時(shí)我們有一個(gè)y集合。如何得到y(tǒng)集合？

我們就建一座“橋”吧，可以推導(dǎo)出y

f(x)=x^2
其中^2表示2次方，即2個(gè)什么相乘，比如x^3就是3次方，x*x*x，* 表示乘，是編程中公認(rèn)的乘號，就像 / 表示分?jǐn)?shù)線，1/2就是二分之一，由于分?jǐn)?shù)與除法存在互換關(guān)系，1/2就是1除以2（注：除以和除不一樣，4除以2是2,2除4是2,4除2是0.5），因此/也表示除號，但上標(biāo)小2太難打出來了，而“^”是被大家所公認(rèn)的次方符號

f，就是我們編的橋

f(x)也可以是2x，也可以是(x-1)^3/2，甚至sin(x)^2-3，你隨意，這個(gè)是可以隨時(shí)定義，就好像x這個(gè)東西可以是一個(gè)數(shù)也可以是集合，可以是{1,2,3,4,5}也可以是N。但接下來我們將假設(shè)f(x)=x^2

這個(gè)“橋”的正式名稱為：函數(shù)表達(dá)式

x的第1項(xiàng)是0，0^2=0，所以f(0)=0

x的第2項(xiàng)是1,1^2=1，所以f(1)=0

x的第15項(xiàng)是14,14^2=196，所以f(14)=196

x的第n項(xiàng)是n-1，所以f(n-1)=(n-1)^2

然而，x只是N還是不夠的，真正的函數(shù)中，x包含了世間你能寫出任何在數(shù)軸上能找到的數(shù)

f(-4)=-4^2=16

注：-4^2=-4*-4，負(fù)負(fù)得正，-4*-4=16

f(1.5)=1.5^2=2.25

……

所以，這里的x不能再用集合表示了，x是一個(gè)自增變量。從數(shù)軸左側(cè)的深淵，不斷自增無窮小量（一種無限趨向0但不等于0的小數(shù)，極為?。罱K通向無窮大

有人會(huì)說了，我們的目的不是求y嗎？

哦，我忘了，我應(yīng)該再給出一個(gè)式子：y=f(x) 因此，y=x^2

(x,y)，這是一個(gè)坐標(biāo)，上過四五年級應(yīng)該知道，這也是位置

y表示y軸，y越小越是往下，越大越是往上

x表示x軸，x越小越往左，x越大越往右

? ↑y+
←→
x-? x+
? ↓y-

x不斷遞增，y則是f(x)，我們可以由此畫出一張函數(shù)圖像
同時(shí)，x和y為用于繪畫的變量，而加上t這個(gè)由時(shí)間遞增的變量，便是一個(gè)動(dòng)畫了，如y=f(x,t)=sin(sin(x-x+t))

取值范圍

x，也叫自變量，自己變化的量。y，也叫因變量，因x變化的量。x的取值范圍，叫定義域。我了解的不太deep，但有以下幾種情況影響定義域：

1.分母/除數(shù)：

分母和除數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，但不能是0

2.開平方

開平方的數(shù)不能是負(fù)數(shù)

以上影響定義域的因素，在函數(shù)中會(huì)自己適應(yīng)。比如 sqrt(x)，會(huì)自己調(diào)整取值范圍

分段函數(shù)

分段函數(shù)提供了兩個(gè)重要的工具，使以函數(shù)作為藝術(shù)工具繪圖成為可能

1,取值范圍

我們可以通過設(shè)置函數(shù)的取值范圍，讓x的變化范圍受到限制

如y=x^2 if -5<x<5，后面的取值范圍使x只能是-5到5之間的數(shù)，其中if是如果的意思

2,分段

我們可以在一個(gè)函數(shù)中使用多個(gè)函數(shù)表達(dá)式

如：

y={x^2 if -5>x

????{2x

注：真正書寫時(shí)，“y=”要居中，花括號是連貫的

這樣的效果就是一個(gè)一端極高而另一端看得見的“u”形，也就是第一個(gè)函數(shù)表達(dá)式。這個(gè)u又被一條斜率為2的線穿過

滲透：斜率，f(x)=y=kx，k就是f(x)畫出斜線的斜率，y=2x的斜率也就是2

????????????切線：一條直線橫穿曲線，只有兩點(diǎn)與之接觸，固定一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)該直線，兩點(diǎn)會(huì)不斷靠近，直到幾乎完全重合（建議動(dòng)手試一下）

????????????導(dǎo)數(shù)就是求該函數(shù)任意一點(diǎn)切線的斜率

奇偶性

偶函數(shù)左右對稱，奇函數(shù)類似1/2x^3，這里表現(xiàn)不清，具體看鹿哥視頻

鹿哥已經(jīng)說的很明白了，我再梳理一下用表達(dá)式的那種方法，以便學(xué)習(xí)的更明白

1.可以將x分別帶入正數(shù)和負(fù)數(shù)，依據(jù)y的結(jié)果是否一樣判斷，如果一樣就是偶函數(shù)

2.f(x)=f(-x)就是偶函數(shù)，反之f(x)=-f(-x)就是奇函數(shù)。這個(gè)負(fù)號放在f()里面還是外面還真有講究，例如f(x)=x^2，f(-2)=4，而-f(2)=-4，因?yàn)閤值的負(fù)號負(fù)負(fù)得正抵消了，但f外面的是直接影響了結(jié)果。

多對一函數(shù)

通過鹿哥的視頻，大家了解了一對一函數(shù)的概念。

我們將舉幾個(gè)多對一函數(shù)的例子——它們其實(shí)就在身邊

1.三角函數(shù)

三角函數(shù)是有周期的函數(shù)，周期是π，也就是sin(π)和sin(4π)，結(jié)果都是一樣的。

2.冪函數(shù)

負(fù)負(fù)得正，-2和2的平方都是4

隱函數(shù)

隱函數(shù)是由隱式方程所隱含定義的函數(shù)。設(shè)F（x,y）是某個(gè)定義域上的函數(shù)。如果存在定義域上的子集D，使得對每個(gè)x屬于D，存在相應(yīng)的y滿足F(x,y)=0，則稱方程確定了一個(gè)隱函數(shù)。記為y=y(x)。顯函數(shù)是用y=f(x)來表示的函數(shù)，顯函數(shù)是相對于隱函數(shù)來說的。

— —百度百科對隱函數(shù)的定義

其實(shí)就是一個(gè)雜亂的函數(shù)，就是一個(gè)方程式

如：x^2+y^2=r^2（圓周方程式）

隱函數(shù)通常不能直接轉(zhuǎn)換成顯函數(shù)

逆函數(shù)

直接全換逆運(yùn)算，f上面加個(gè)小-1

同時(shí)f上面加的數(shù)也代表這個(gè)函數(shù)的平方，如sin(x)^2=sin^2(x)

復(fù)合函數(shù)

比較好理解。

比如f(g(x))，其實(shí)就是f的輸入是g的輸出，g的因變量就是f的自變量。還有一種表示，也是最常見而且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，就?f°g)，° 表示函數(shù)復(fù)合

三角函數(shù)

對邊用字母表示是a，鄰邊是b，斜邊是c

假設(shè)有一個(gè)三角形，下面是它的角的命名

? B

AC

C為直角

~的對邊：與該角垂直的邊

假設(shè)A的角度為α，三角函數(shù)最常用的有這么幾個(gè)：sin——正弦，cos——余弦，tan——正切，cot——余切，sec——正割，csc——余割

sin（α）=A的對邊/斜邊（a/c）

cos（α）=A的鄰邊/斜邊（b/c）

tan（α）=A的對邊/鄰邊（a/b）

cot（α）=A的鄰邊/斜邊（b/a）

sec（α）=1/cos(α)

csc（α）=1/sin(α)

sec和csc從某種角度來講，它們的式子和名字似乎相反，可以這樣記

可以這樣記這六個(gè)表達(dá)式：正弦余弦就是a和b輪流除c，正切是a、b兩個(gè)字母在字母表正的順序，余切是正切的倒數(shù)（沒錯(cuò)，就是分子和分母倒過來，稱為倒數(shù)，不是導(dǎo)數(shù)）

由于角度變化，三角形的三邊也會(huì)有邊變化，α越小，斜邊和鄰邊的比例也會(huì)越大

sin和cos的圖像就是一些波浪，有相似之處，但sin是波形的“谷底”與右側(cè)“谷峰”之間的部分為x軸的0點(diǎn)，cos的波形是“谷峰”為x軸的0點(diǎn)

tan和cot都是一些類似很多個(gè)豎著寫的s，也不完全是，因?yàn)閮深^都看不見頂。很多個(gè)s橫著擺一排。tan的一個(gè)“s”居中，cot類似tan的“s”翻轉(zhuǎn)，中點(diǎn)在兩個(gè)“s”之間。

sec和csc似乎不太常用。都是一堆冪函數(shù)的形狀，錯(cuò)開擺放，一會(huì)開口向上，左右兩個(gè)就開口朝下了。差距和正余弦差不多，大抵都是對坐標(biāo)軸的對齊問題

以上就是整篇文章的內(nèi)容了