歐幾里得112、√2?是無理數(shù)，發(fā)現(xiàn)并堅持這個結(jié)果的希帕索斯付出生命代價

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2015-02-07，寂寞de小老鼠上傳名為《證明根號2是無理數(shù)的八種方法》的文章。

…無、理、無理數(shù)：見《歐幾里得27》…

文章內(nèi)容：怎樣證明√2是一個無理數(shù)

√2?是一個非常著名的無理數(shù)，第一個發(fā)現(xiàn)并堅持這個結(jié)果的希帕索斯因此付出了生命的代價（見《歐幾里得17、18》）——后世的數(shù)學史家所說的“第一次數(shù)學危機”蓋源于此。

風暴過去后，喚醒的卻是數(shù)學家們對數(shù)的重新認識，實數(shù)的概念開始確立。在此意義上講，√2的發(fā)現(xiàn)是人們對真理的追求、探索以致明朗的一個極好例證。

…實、數(shù)、實數(shù)：見《歐幾里得37》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

…例、證、例證：見《歐幾里得57》…

…真、理、真理：見《歐幾里得43》…

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換一個角度來看這個數(shù)，我們可以把它看作一根“晾衣繩”，上面掛著許多有趣的方法，值得你仔細玩味。我準備從不同的角度來證明√2是一個無理數(shù)，從而體會這一點。

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

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證法1：尾數(shù)證明法

假設(shè)√2是一個有理數(shù)，即√2可以表示為一個分數(shù)的形式√2=a/b。其中（a，b）=1，a與b都是正整數(shù)。則a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。

…形、式、形式：見《歐幾里得13》…

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（a，b）=1什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-05-18，小小芝麻大大夢：（a，b）=1，即a與b最大的公因數(shù)是1。

在數(shù)論中，記法（a，b）表示整數(shù)a與整數(shù)b的最大公約數(shù)（greatest common divisor，也譯作最大公因數(shù)），即所有能同時整除a與b的正整數(shù)中最大的那一個。

比如，能同時整除18和24的正整數(shù)一共有四個：1，2，3，6。其中 6 最大，那么（18，?24）=6。

…數(shù)、論、數(shù)論：見《歐幾里得15》…

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（a，b）=1，即a與b最大的公因數(shù)是1（所有比1大的正整數(shù)都不能同時整除a和b），也就是說，a與b互為質(zhì)數(shù)的意思。

…質(zhì)數(shù)：大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)…

…互為質(zhì)數(shù)一般指互質(zhì)數(shù)…

…互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個非零自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。

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互質(zhì)數(shù)具有以下定理：

（1）公因數(shù)只有1的兩個非零自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。舉例：2和3，公因數(shù)只有1，為互質(zhì)數(shù)；

（2）多個數(shù)的若干個最大公因數(shù)只有1的正整數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)；

（3）兩個不同的質(zhì)數(shù)，為互質(zhì)數(shù)；

（4）1和任何自然數(shù)互質(zhì)。兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

（5）任何相鄰的兩個數(shù)互質(zhì)…

（…定、理、定理：見《歐幾里得2》…）

由于完全平方數(shù)b2（b的平方）的尾數(shù)只能是0、1、4、5、6、9中的一個，因此2×b2（2×b的平方）的尾數(shù)只能是0、2、8中的一個。

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…完全平方數(shù)：完全平方指用一個整數(shù)乘以自己，例如1×1，2×2，3×3等，依此類推。

若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)。

完全平方數(shù)是非負數(shù)。

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如果一個正整數(shù)a是某一個整數(shù)b的平方，那么這個正整數(shù)a叫做完全平方數(shù)。

零也可稱為完全平方數(shù)。

完全平方數(shù)性質(zhì)如下：

（1）個位數(shù)字只能是 0， 1，4，5，6，9?；

（2）任何偶數(shù)的平方一定能被 4 整除…

（…性、質(zhì)、性質(zhì)：見《歐幾里得37》…）

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因為a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以a2（a的平方）與2b2（2×b的平方）的尾數(shù)都是0。

…a2（a的平方）的尾數(shù)為0、1、4、5、6、9中的一個，2b2（2×b的平方）的尾數(shù)為0、2、8中的一個，a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。滿足上述條件的尾數(shù)只有0。因此，a2（a的平方）與2b2（2×b的平方）的尾數(shù)都是0…

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因此，b2（b的平方）的尾數(shù)只能是0或5。

…2b2的尾數(shù)是0，b2（b的平方）的尾數(shù)為0、1、4、5、6、9中的一個。在0、1、4、5、6、9這些尾數(shù)中，只有0、5乘以2后，得到的新數(shù)的尾數(shù)是0。因此，b2（b的平方）的尾數(shù)是0或5…

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因此，a與b有公因數(shù)5。

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…∵?a2（a的平方）的尾數(shù)是0，尾數(shù)是0的正整數(shù)是5的倍數(shù)

∴ a2（a的平方）是5的倍數(shù)（此處運用的證明方法是三段論）

∴ a2（a的平方）含有因數(shù)5

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∵?a2（a的平方）=a×a，a×a含有因數(shù)5

∴ a含有因數(shù)5

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同理可證b含有因數(shù)5。

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∴ a與b有公因數(shù)5

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a與b有公因數(shù)5，這與（a，b）=1矛盾！因此√2是無理數(shù)。

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這個證法可以證明被開方數(shù)的尾數(shù)是2、3、7、8的平方根都是無理數(shù)。

…根：見《歐幾里得57》…

…平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…

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““冪”原指蓋東西布巾，數(shù)學中“冪”是乘方的結(jié)果，而乘方的表示，是通過在一個數(shù)字上加上標的形式來實現(xiàn)的，就像在一個數(shù)上“蓋上了一頭巾”。

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請看下集《歐幾里得113、希帕索斯葬身海底的原因》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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