樂，沒想到竟然會同時開高等代數(shù)和常微分方程的坑。（）

主要是因為寫常微分方程寫到一半，發(fā)現(xiàn)開始涉及到一些代數(shù)學(xué)的基本概念。雖然我們在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中也已經(jīng)提到了一些代數(shù)學(xué)的內(nèi)容（比如說，矩陣和行列式的概念等等），但是我們也只是借用一些形式，并沒有利用這些概念的性質(zhì)，以及更深入的一些討論（包括線性相關(guān)性，我們后面會介紹到）。所以，我們之前也沒有同時開坑。

不過現(xiàn)在，類似于線性相關(guān)這樣的概念與性質(zhì)在常微分方程當(dāng)中開始涉及到了一些，正巧常微分方程的基礎(chǔ)基本內(nèi)容已經(jīng)介紹完了（常微分方程的概念以及初等積分法），所以相當(dāng)于基礎(chǔ)已經(jīng)打下了，那么我們也可以暫時將注意力集中在另一部分內(nèi)容了~

高等代數(shù)是真的痛苦，主要是無論是證明還是計算，高等代數(shù)的文字?jǐn)⑹稣急认喈?dāng)?shù)拇?，很多時候你都會看到，高等代數(shù)里面的證明都是一大段文字。當(dāng)然也有一些數(shù)學(xué)表達(dá)式證明，不過有相當(dāng)一部分卻是些很簡單的小證明。所以，如何理解證明與計算，就成了代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點了。

當(dāng)然，也可能是我自身實力有限，所以我所能做的介紹可能相較于其他兩個部分（數(shù)學(xué)分析和常微分方程）要少一些，盡可能從我能理解的角度來介紹一些吧，可能也不會特別深入，力求提供一些好的理解。

因為水平有限，我也不太能夠分辨出哪一本教材相對比較好理解，相對內(nèi)容較好較全，所以我就選擇了普遍評價還不錯的丘維聲老師的《高等代數(shù)》作為我們的參考教材?？戳艘恍?，感覺還不錯，整個內(nèi)容體系還比較完整，而且順序也不至于很亂很難啃。

OK，那我們就開始吧！

Chapter? One? 線性方程組

1.1? 解線性方程組的矩陣消元法

由于在數(shù)學(xué)分析部分我們已經(jīng)使用過一些矩陣的基本概念與形式，這里我們就不會再多贅述。關(guān)于矩陣的概念，我們這里只說明，實際上矩陣就是一張m×n維的方形數(shù)表。矩陣，可能是少有的利用外形來定義的數(shù)學(xué)概念。

那么，矩陣又與線性方程組的求解有什么關(guān)系呢？

我們先來看一個實際應(yīng)用的例子。

例：

在大學(xué)生活中，我們會參與各種各樣的學(xué)習(xí)、生活、工作和娛樂活動。我們一般會將自己的時間合理分配給這些內(nèi)容，使得自己既能夠?qū)W到東西、得到鍛煉，又能夠放松身心、愉悅自我。

一位普通的大一新生小李，面對未來的大學(xué)四年時光，在家人的建議以及經(jīng)過自己的深思熟慮之后，決定給自己的時間分配設(shè)定一個合理的安排。他把自己的時間記為1，每一部分內(nèi)容所需的時間分別記為：

根據(jù)以往的學(xué)長學(xué)姐們的經(jīng)驗，從經(jīng)驗積累的角度來看，多學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課程內(nèi)容的收獲是最大的，適當(dāng)?shù)膮⑴c一些學(xué)生工作也對自己有一些好處。而如果選擇娛樂，不僅沒辦法使得自己積累適應(yīng)工作與社會的經(jīng)驗，反而有可能因為占據(jù)了學(xué)習(xí)和工作的時間，同時消磨自己的意志，從而使得這一部分時間最終竟然產(chǎn)生了負(fù)收益。

但是，他的家人是更看重小李的身體和心情的。他們認(rèn)為，學(xué)習(xí)和工作帶來的雖然是適應(yīng)未來的經(jīng)驗，但是過度工作和學(xué)習(xí)同時也會損傷身體。而且，長時間得不到放松，可能心情也會變差，從而對身體的損害更加嚴(yán)重。這是得不償失的。

綜合這些過來人的經(jīng)驗，小李認(rèn)為，每投入一分時間在學(xué)習(xí)上，自己就能增長一分的知識與收獲；投入在工作上的時間也能換來至少一半的收益；娛樂可能會一定程度的使自己懈怠，因此可能帶來三分的負(fù)收益。

但是，學(xué)習(xí)和工作無疑是在消耗自己的身體。從這點來看，學(xué)習(xí)會帶來半分的消耗，而工作會有六分的消耗。娛樂活動作為放松，可以起到調(diào)節(jié)生活的作用，因此此時反而會帶來1.2倍的收益。

小李想，大學(xué)四年度過以后，至少不能讓自己的身體狀況變得太壞，得保持80%的水準(zhǔn)；而自己要在大學(xué)四年里學(xué)到一些東西，收益在1.5左右就可以接受。

于是，他就得到了下面這個方程組：

這樣的方程組是由一些未知元素通過線性運算組合成的方程組合出來的，因此稱為線性方程組。

接下來的問題就是這個方程有沒有解，以及如何去解的問題了。

我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)過一次多元方程組的基本解法，一個是代入消元法。這個方法會是我們很多時候會愿意去選擇的方法，因為我們總是希望未知元素的個數(shù)要少一點。不過，對于元數(shù)較多的方程組，這個方法并不是很好用，因為很多時候代入消元的過程并不會一帆風(fēng)順。比如說我們問題當(dāng)中的這個方程，無論怎么代入消元，我們總是會留下三個元素。這使得我們很難直接找到一個好的解題過程。

另一種方法，就是所謂的Gauss消去法。Gauss消去法的基本原則就是利用方程組內(nèi)的各個方程之間的線性運算，來不斷地減少未知元素的個數(shù)。

由于未知元素都是固定的，我們可以形式上簡化方程組的表達(dá)方式。利用矩陣很容易表達(dá)成：

那么，所謂Gauss消去法，實際上就是矩陣的各行之間進(jìn)行直接的加減運算。運算對象只是方程的系數(shù)，而未知元素形式上被忽略掉了。

所以，現(xiàn)在我們就將線性方程組的解法問題轉(zhuǎn)化為了矩陣的行元素之間的運算以及矩陣的表達(dá)形式的問題。這就表達(dá)出了線性方程組和矩陣之間是有一定的聯(lián)系的。

那么，我們?nèi)绾卫镁仃嚨南嚓P(guān)內(nèi)容，來解決線性方程組的解的存在及求解的問題？

利用Gauss消去法，我們就知道，我們實際上就是需要通過對行之間進(jìn)行運算，以達(dá)到將方程組變?yōu)椋?/p>

這樣的形式。

對應(yīng)的矩陣形式為：

于是，我們就得到了解：

基于我們直觀的認(rèn)識，我們知道，方程組中方程的個數(shù)少于變量個數(shù)的時候，方程組基本上是有無窮多組解的；而當(dāng)方程組中方程個數(shù)與變量個數(shù)相等的時候，方程組可能有唯一解，可能有無窮多組解，也可能無解；當(dāng)方程組中方程個數(shù)多于變量個數(shù)的時候，方程組的解更是有以上三種狀況出現(xiàn)。

所以，我們的例子當(dāng)中的問題是有無窮多組解的。這也就是說，我們有很多安排自己時間的方式，只要合理就好~既要兼顧學(xué)業(yè)與工作，又要照顧好自己的身體呀~

我為了能夠用矩陣的語言方便地敘述解線性方程的各種結(jié)論，我們需要定義一些與線性方程組相關(guān)的矩陣概念：

（1）線性方程組：

的任何一個方程的左側(cè)都是未知變量的線性組合。略去變量，我們將組合系數(shù)保持原本的位置不動，抽離出一張數(shù)表，得到：

稱為該方程組的系數(shù)矩陣。

（2）將線性方程組右側(cè)的數(shù)也置入系數(shù)矩陣當(dāng)中，得到了一個擴(kuò)展后的矩陣，即：

稱為該方程組的增廣矩陣。

（3）我們對方程組所做的Gauss消去法的操作，對應(yīng)到矩陣上，就說對矩陣做了初等行變換。初等行變換包括：對調(diào)兩行的位置，將某行乘以某一常數(shù)以及將某行的某一倍數(shù)加到另一個行上。

（4）我們利用矩陣的初等行變換，可以將矩陣化為這樣的形式：

這樣形式的矩陣有一些特點：

①元素全為0（零行）在下方；（如果有元素不全為0的非零行，那么在矩陣中非零行的位置一定在零行的上面。）

②非零行的第一個不為0的元素所在列的序數(shù)隨著行的序數(shù)的增大而逐漸增大。（第一個不為0的元素稱為該行的主元。）

滿足上述條件的矩陣我們稱之為行階梯形矩陣。

（5）特別地，有一類特殊的階梯形矩陣，其每行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都為0。這樣的階梯形矩陣稱為簡化行階梯形矩陣。

有關(guān)初等行變換，我們有：

任何非零矩陣（矩陣中的元素不全為0）都能通過初等行變換轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣；更一般地，可以被轉(zhuǎn)化為簡化階梯形矩陣。

（命題1）

于是，線性方程組的問題，就變成了如下增廣矩陣轉(zhuǎn)化成的簡化行階梯形矩陣的具體表現(xiàn)形式的問題。

顯然，我們有：

（1）如果矩陣中某一行的主元位于最后一列，則方程組無解；

（2）如果矩陣中有至少一個非零行，則方程組可以降低維數(shù)（即方程組方程的個數(shù)）；

（3）如果m＜n，則我們通過重新標(biāo)記未知變量的序數(shù)，可以得到新的簡化行階梯形矩陣如下：

則方程組的解應(yīng)該表達(dá)為：

可以看到，隨著對等號右側(cè)的變量的賦值不同，得到的解也不會完全一致。因此，此時，方程的解并不唯一；

（4）如果m≥n，則要看經(jīng)過初等行變換之后，歸為上述三種情況中的哪一種了。

最后以一道應(yīng)用題為結(jié)尾吧！

應(yīng)用：

一個投資者將10萬元投給三家企業(yè)甲，乙和丙，所得的利潤率分別為12%，15%和22%。如果他想得到2萬元的利潤：

（1）如果投給乙的錢是投給甲的錢的2倍，則應(yīng)當(dāng)如何分配投資金額？

（2）可不可以使得投給丙的錢等于投給甲和乙的錢的總和？

みんながすべてマスターすることができることを望み ます！