凸函數(shù)的一階充要條件：

假設定義在\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}上的函數(shù)f可微（即對于所有x\in \mathbb{D}(f)，梯度\triangledown f(x)均存在）。則函數(shù)f是凸函數(shù)當且僅當函數(shù)定義域\mathbb{D}(f)是一個凸集，且對于所有x,y\in \mathbb{D}(f)均滿足：

f(y) \geq f(x)+\triangledown f(x)^T(y-x)

一階充要條件從幾何意義上講，即定義域內(nèi)所有函數(shù)值都大于等于該點的一階近似