【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話(huà)嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第一章有理數(shù)

§1-1算術(shù)里有關(guān)數(shù)的運(yùn)算知識(shí)的復(fù)習(xí)

【01】讀者們都學(xué)過(guò)了算術(shù)。我們現(xiàn)在要開(kāi)始學(xué)習(xí)代數(shù)了。代數(shù)和算術(shù)，雖然是兩門(mén)學(xué)科，但它們卻是緊密地聯(lián)系著的。算術(shù)里有許多內(nèi)容，都是在學(xué)習(xí)代數(shù)時(shí)必須用到而且經(jīng)常要用到的，因此，我們?cè)陂_(kāi)始學(xué)習(xí)代數(shù)的時(shí)候，要先來(lái)復(fù)習(xí)一下算術(shù)里學(xué)過(guò)的一些有關(guān)數(shù)的運(yùn)算的知識(shí)。

1、算術(shù)里學(xué)過(guò)的數(shù)

【02】算術(shù)里學(xué)過(guò)哪一些數(shù)呢？我們先來(lái)看一看下面這些數(shù)：

????????(1) 1，2，3，5，16，30，132，478；

????????(2) 0；

????????(3) 3.5，0.326，0.0037，364.24；

????????(4)?

【03】你認(rèn)識(shí)這些數(shù)嗎？能夠說(shuō)出這四類(lèi)數(shù)的名稱(chēng)嗎？

【04】在第一類(lèi)數(shù)里，1，2，3，5，16 等，它們都是在我們數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)按照 1，2，3，4，5，6，…這樣的次序一個(gè)一個(gè)順次數(shù)下去時(shí)，總會(huì)數(shù)到的.這樣的數(shù)叫做自然數(shù)。自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限多的。任何一個(gè)自然數(shù)總還有比它更大的自然數(shù)。

山箋||? 高等數(shù)學(xué)中的『阿基米德公理』

????????小伙伴莫要小看上文的最后一句話(huà)“任何一個(gè)自然數(shù)總還有比它更大的自然數(shù)?！边@句話(huà)便是高等數(shù)學(xué)第一堂課中“ε-N”證明法的理論基礎(chǔ)，若沒(méi)有這個(gè)自然數(shù)公理，“ε-N”證明法就很難成立。而相較于這條自然數(shù)公理，還有一條適用性更強(qiáng)的公理——“阿基米德公理”——“任何一個(gè)正數(shù)總還有比它更大的自然數(shù)?！?/span>

????????“阿基米德公理”是將條件適用范圍從自然數(shù)推廣到實(shí)數(shù)域，因此雖然工科高數(shù)不講阿基米德公理，但我認(rèn)為還是有必要簡(jiǎn)單介紹一下，也可讓小伙伴稍微適應(yīng)一下“ε-N”這種證明語(yǔ)言。

????????【阿基米德公理】對(duì)于?c＞0，必?自然數(shù)n＞c? 。〖山注||? 此處符號(hào)?是Arbitrary的首字母反寫(xiě)，意思是“任意”；符號(hào)?是Exist的首字母反寫(xiě)，意思是“存在”。這個(gè)公理翻譯成文字版就是：對(duì)于任意一個(gè)正數(shù)c，必存在大于c的自然數(shù)。〗

????????阿基米德公理的原型是阿基米德提出的一個(gè)公理命題：“若在直線(xiàn)上給定任意線(xiàn)段A及B，則A重復(fù)相加若干次后，其和總可以大于B”

????????然后將“線(xiàn)段長(zhǎng)度”抽象為“正數(shù)”，設(shè)A的長(zhǎng)度是正數(shù)a，B的長(zhǎng)度是正數(shù)b，而若干次必是自然數(shù)次，設(shè)其值為自然數(shù)n。則此公理就可抽象為“必存在自然數(shù)n，使a·n＞b”，定義除法后可進(jìn)一步整理為“必存在自然數(shù)n，使n＞b/a”，令c=a/b，因?yàn)閍、b均為正數(shù)，所以c＞0，則這個(gè)原型命題就抽象成了我們看到的阿基米德公理（對(duì)于?c＞0，必?自然數(shù)n＞c? ）。

????????小伙伴是不是感覺(jué)這個(gè)公理有點(diǎn)莫名其妙，但在學(xué)高等數(shù)學(xué)前，建議仔細(xì)琢磨一下（詳情可閱讀菲赫金哥爾茨《微積分學(xué)教程》的緒論）。因?yàn)檫@個(gè)如果適應(yīng)不了，感覺(jué)莫名其妙，那在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)第一章的“ε-N”證明法時(shí)就可能難摸著北了。

【05】第二類(lèi)數(shù)只有一個(gè)，就是 0，讀做“零”，它不是自然數(shù)〖山注||? 注意，現(xiàn)在的自然數(shù)定義中包括“零”！我小學(xué)五年級(jí)小升初時(shí)定義自然數(shù)還不包括〇，到初一時(shí)教材就改為包括〇了。據(jù)說(shuō)這是美蘇在自然數(shù)問(wèn)題上分歧的延續(xù)，我們?cè)捎玫氖翘K式觀(guān)點(diǎn)，但蘇亡后，美帝會(huì)盟諸侯，霸圖天下，至此禮樂(lè)征伐自美帝出，故關(guān)于自然數(shù)定義我們也改用了美式觀(guān)點(diǎn)?！?/span>。

【06】第一類(lèi)和第二類(lèi)數(shù)都叫做整數(shù)，也就是說(shuō)，自然數(shù)和零都叫做整數(shù)。

【07】第三類(lèi)數(shù) 3.5，0.326，0.0037 等叫做小數(shù)，小數(shù)里的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)。

【08】第四類(lèi)數(shù)??等叫做分?jǐn)?shù)。各個(gè)分?jǐn)?shù)中間的一劃叫做分?jǐn)?shù)線(xiàn)，分?jǐn)?shù)線(xiàn)上面的這個(gè)數(shù)叫做分子，分?jǐn)?shù)線(xiàn)下面的這個(gè)數(shù)叫做分母。

【09】在算術(shù)里所學(xué)過(guò)的小數(shù)，實(shí)際上也是分?jǐn)?shù)的一種寫(xiě)法。例如，3.5 就是?，0.326 就是?，0.0037 就是?，364.24 就是?? 。所以我們說(shuō)：算術(shù)里所學(xué)過(guò)的數(shù)，就是

整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

2、算術(shù)里學(xué)過(guò)的運(yùn)算

(1)四種基本運(yùn)算：

【10】我們?cè)谒阈g(shù)里學(xué)過(guò)哪幾種運(yùn)算呢？我們學(xué)過(guò)四種運(yùn)算，就是加法、減法、乘法和除法。這四種運(yùn)算，總起來(lái)叫做四則運(yùn)算。

【11】加法是從兩個(gè)加數(shù)求它們的和的運(yùn)算，如 3＋5＝8，那就是：加數(shù)甲＋加數(shù)乙＝和。

【12】任意兩個(gè)數(shù)，總可以相加，求出它們的和來(lái)。

【13】減法是已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)求另為個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。已知的和叫做被減數(shù)，已知的一個(gè)加數(shù)叫做減數(shù)，所求的另一個(gè)加數(shù)叫做差，如 8－5＝3，那就是：被減數(shù)－減數(shù)＝差。

【14】在算術(shù)里，減法不是一定可以進(jìn)行的。只有當(dāng)減數(shù)小于被減數(shù)或者等于被減數(shù)的時(shí)候，減法才能夠進(jìn)行。如果減數(shù)大于被減數(shù)，如 3－4，在算術(shù)里，這個(gè)減法就不能做。

【15】乘法是從兩個(gè)數(shù)求它們的積的運(yùn)算，這兩個(gè)數(shù)一個(gè)叫做被乘數(shù)，另一個(gè)叫做乘數(shù)，也可以把這兩個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。如 8×5＝40，這里是：被乘數(shù)×乘數(shù)＝積；或? 因數(shù)甲×因數(shù)乙＝積。

【16】任意兩個(gè)數(shù)，總可以相乘，求出它們的積來(lái)。

【17】除法是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的另一個(gè)因數(shù)叫做商，如 40÷5＝8，那就是：被除數(shù)÷除數(shù)＝商。

【18】當(dāng)我們只學(xué)到整數(shù)的時(shí)候，除法不一定可以除盡，例如 16÷3 就不能除盡，只能得到部分的商 5，同時(shí)得余數(shù) 1。但當(dāng)我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)以后，那末只要除數(shù)不是零，除法就總可以進(jìn)行，例如?? 。

【19】零不能作為除數(shù)，因?yàn)槟昧阕鳛槌龜?shù)是沒(méi)有意義的。

(2)逆運(yùn)算關(guān)系：

【20】減法是加法的逆運(yùn)算，減法里的被減數(shù)，就是加法里的和，減法里的減數(shù)，就是加法里的一個(gè)加數(shù)，而減法里的差，就是加法里的另一個(gè)加數(shù)。它們之間的關(guān)系如下：

【21】例如 8＋6＝13，即得 13－6＝8，或 13－8＝5? 。

【22】除法是乘法的逆運(yùn)算，除法里的被除數(shù)，就是乘法里的積，除法里的除數(shù)，就是乘法里的一個(gè)因數(shù)，而除法里的商，就是乘法里的另一個(gè)因數(shù)。它們之間的關(guān)系如下：

【23】例如 8×5＝40，即得 40÷5＝8，或 40÷8＝5? 。

3、算術(shù)里學(xué)過(guò)的運(yùn)算符號(hào)和關(guān)系符號(hào)

【24】在算術(shù)里，我們學(xué)過(guò)下面這三類(lèi)符號(hào)：

(1)有關(guān)運(yùn)算種類(lèi)的符號(hào)：

????????加號(hào)????＋? ? 讀做“加”，或“加上”；

????????減號(hào)????－????讀做“減”，或“減去”；

????????乘號(hào)?????×?? ? 讀做“乘以”；

????????除號(hào)? ? ?÷?????讀做“除以”；

【注】除號(hào)的讀法要特別注意，有人讀做“除”，那是不確當(dāng)?shù)?。?16÷2 應(yīng)該讀做“十六除以二”，不要讀做“十六除二”。我們要養(yǎng)成正確讀出符號(hào)的習(xí)慣。

【25】分?jǐn)?shù)里把分子分母隔開(kāi)的這條“分?jǐn)?shù)線(xiàn)”，實(shí)際上也是一個(gè)除號(hào)，例如，實(shí)際上就是11÷12? 。

(2)括號(hào)：

【26】括號(hào)是一種關(guān)于運(yùn)算順序的符號(hào)。括號(hào)有小括號(hào)(? )、中括號(hào)[? ]、大括號(hào){? }。

【注】有時(shí)還應(yīng)用“括線(xiàn)”，例如，小括號(hào)里邊? 的上面的一條線(xiàn)，就是括線(xiàn)，表示 5－4 要先進(jìn)行運(yùn)算。

【27】在分?jǐn)?shù)里的分?jǐn)?shù)線(xiàn)，既有除號(hào)的意義，有時(shí)也帶有括號(hào)的意義，例如，25－4 與 8＋6 都要先做，然后再把分子除以分母，這里的分?jǐn)?shù)線(xiàn)就既有除號(hào)的意義，又有括號(hào)的意義。在繁分?jǐn)?shù)里，我們還要依照分?jǐn)?shù)線(xiàn)的長(zhǎng)短來(lái)確定運(yùn)算次序的先后，例如就是 32÷(4÷2)＝32÷2＝16，而就是 (32÷4)÷2＝8÷2＝4? 。這里兩條分?jǐn)?shù)線(xiàn)的長(zhǎng)短，就相當(dāng)于括號(hào)的大小的區(qū)別了。

(3)數(shù)的大小關(guān)系的符號(hào)：

【28】在算術(shù)里，我們學(xué)習(xí)過(guò)三種關(guān)于數(shù)的大小關(guān)系的符號(hào)：

????????等? ? 號(hào)????＝????讀做“等于”????例如 3＋5＝8，

????????大于號(hào)???? ＞????讀做“大于”????例如 5＞2，

????????小于號(hào)???? ＜? ? 讀做“小于”????例如 1＜4? 。

4、算術(shù)里學(xué)過(guò)的運(yùn)算順序的規(guī)定

【29】在一個(gè)包含幾個(gè)運(yùn)算的式子里，對(duì)運(yùn)算的先后次序，有下面這些規(guī)定：

????????(1)在一個(gè)沒(méi)有括號(hào)的算式里，如果只含有加減運(yùn)算（叫做第一級(jí)運(yùn)算），或者只含有乘除運(yùn)算（叫做第二級(jí)運(yùn)算），應(yīng)該從左往右依次運(yùn)算。

????????(2)在一個(gè)沒(méi)有括號(hào)的算式里，如果既含有第一級(jí)運(yùn)算，也含有第二級(jí)運(yùn)算，應(yīng)該先做第二級(jí)運(yùn)算（乘、除），后做第一級(jí)運(yùn)算（加、減）。簡(jiǎn)單說(shuō)起來(lái)，就叫做“先乘除、后加減”。

????????(3)一個(gè)算式里有括號(hào)的，括號(hào)里面的運(yùn)算要先做。如果有幾種括號(hào)，先算最里層的小括號(hào)里面的運(yùn)算，再算較外面的中括號(hào)里面的運(yùn)算，最后才算最外面的大括號(hào)里面的運(yùn)算。如果括號(hào)里面也有幾種運(yùn)算，同樣按照上面(1)、(2)兩條規(guī)定的次序進(jìn)行演算。

例1.計(jì)算：16＋5－8＋100－113? 。

【分析】這里只有第一級(jí)運(yùn)算——加、減運(yùn)算，按照規(guī)定(1)，運(yùn)算從左到右一步一步進(jìn)行。

【解】16＋5－8＋100－113＝21－8＋100－113＝13＋100－113＝113－113＝0? 。

例2.計(jì)算：18÷3×2×4? 。

【分析】這里只有第二級(jí)運(yùn)算，按照規(guī)定(1)，運(yùn)算從左到右一步一步進(jìn)行。

【解】18÷3×2×4＝6×2×4＝12×4＝48? 。

例3.計(jì)算：540÷18＋6×64－40÷2? 。

【分析】這里既有第一級(jí)運(yùn)算，又有第二級(jí)運(yùn)算，按照規(guī)定(2)，先做乘除，后做加減。

【解】1540÷18＋5×64－40÷2＝30＋320－20＝350－20＝330? 。

例4.計(jì)算：8－{7－[6－(5－1)－2]－1}? 。

【分析】這里有三層括號(hào)，先做小括號(hào)里面的運(yùn)算，再做中括號(hào)里面的運(yùn)算，再做大括號(hào)里面的運(yùn)算，再做括號(hào)外面的運(yùn)算。每一次把括號(hào)內(nèi)的式子算出結(jié)果以后，這個(gè)括號(hào)就失去作用，可以不必再寫(xiě)了。

【解】8－{7－[6－(5－1)－2]－1}＝8－{7－[6－4－2]－1}＝8－{7－0－1}＝8－6＝2? 。

例5.計(jì)算：{[(24－16)×3－4×6]÷(36÷3－2×5)＋40}÷4? 。

【解】

{[(24－16)×3－4×6]÷(36÷3－2×5)＋40}÷4

＝{[8×3－4×6]÷(12－10)＋40÷4

＝{[24－24]÷2＋40}÷4＝{0÷2＋40}÷4

＝{0＋40}÷4＝40÷4＝10? 。

例6.計(jì)算：? 。

【解】

【注意】分?jǐn)?shù)的加減法里，如原有分母不相同，必須進(jìn)行通分，在乘除運(yùn)算中，各個(gè)帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)，并須隨時(shí)注意約分，化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

例7.計(jì)算：? 。

【分析】這是繁分?jǐn)?shù)，中間的分?jǐn)?shù)線(xiàn)是兼有括號(hào)的作用，所以 3＋1/7 的加法與 5－1/3 的減法都要先做。

【解】? 。

例8.計(jì)算：? 。

【分析】這個(gè)算式里既有分?jǐn)?shù)又有個(gè)數(shù)，因?yàn)?1/2 和 1/8 都可以化做有限小數(shù)，所以這個(gè)題目可以用兩種方法來(lái)計(jì)算：(1)把小數(shù)先化成分?jǐn)?shù)后再算；(2)把分?jǐn)?shù)先化成小數(shù)后再算。

【解1】化成分?jǐn)?shù)做：

【解2】化成小數(shù)做：

例9.計(jì)算：? 。

【分析】這里 1/3 不能化成有限小數(shù)，所以要先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再算。

【解】

習(xí)題1-1

回答下列問(wèn)題（1~7）：

1、寫(xiě)出三個(gè)自然數(shù)來(lái)。寫(xiě)出最小的自然數(shù)來(lái)。有沒(méi)有最大的自然數(shù)？

2、在算術(shù)里，“整數(shù)”和“自然數(shù)”這兩個(gè)名稱(chēng)有沒(méi)有區(qū)別？有什么區(qū)別？

3、寫(xiě)出四個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)，其中兩個(gè)是真分?jǐn)?shù)，兩個(gè)是假分?jǐn)?shù)。3/3 是真分?jǐn)?shù)還是假分?jǐn)?shù)？

4、寫(xiě)出三個(gè)繁分?jǐn)?shù)來(lái)，其中一個(gè)的分母是整數(shù)，分子是分?jǐn)?shù)；另一個(gè)的分母是分?jǐn)?shù)，分子是整數(shù)；還有一個(gè)的分母分子都是分?jǐn)?shù)。再把它們化成普通分?jǐn)?shù)。

5、寫(xiě)出三個(gè)小數(shù)來(lái)，并把它們化成分?jǐn)?shù)。

6、在算術(shù)里，加法、乘法、減法、除法是不是總可以進(jìn)行？那些運(yùn)算在怎樣的情況下不能進(jìn)行？

7、零可以做除數(shù)嗎？零可以做被除數(shù)嗎？

計(jì)算（8~20）：

8、328＋672÷(72÷9×4)? ?！?49】

9、(56＋44)×0÷1÷1＋0÷100＋9? 。【10】

10、1＋2×{2＋3×[3＋4×(4＋5×6)×7÷8]－9}? ?！?19】

11、? ?！?0】

12、? 。【1】

13、3.6＋43.05＋1.8－13.08－4.87? 。【30.5】

14、7.5×15.2÷(38×2.5×0.06)? ?！?0】

15、(3.54－2.54×0.7)×1.2? 。【2.1144】

16、? ?！?.04】

17、0.3×0.2－1/7×0.15? ?！?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cscriptsize%5Cfrac%7B27%7D%7B700%7D%20" alt="%5Cscriptsize%5Cfrac%7B27%7D%7B700%7D%20">】

18、? ?！?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cscriptsize7%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20" alt="%5Cscriptsize7%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20">】

19、? ?！?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7B25%7D%20" alt="%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7B25%7D%20">】

20、? 。【1】