最近ShaderToy上有一個(gè)實(shí)時(shí)GI讓人眼前一亮

https://www.shadertoy.com/view/ctSGWm

叫àtrous Wavelet Denoising

我對(duì)這個(gè)實(shí)現(xiàn)并不是很感興趣，只不過這個(gè)畫面（主要是兩個(gè)金屬管）特別有真實(shí)感。

其中有一個(gè)詞Wavelet。以前瞎研究的時(shí)候經(jīng)常碰到它，于是想去搞搞清楚。

以前的印象中說，

1.對(duì)于一些特殊應(yīng)用場景，傅里葉變換的效果不是特別滿意。

2.于是有了滑動(dòng)窗口傅里葉變換。比如如果我們提前知道信號(hào)有一些特性，比如分3部分周期各相迥異，就可以分塊變換。當(dāng)然變體有很多，叫法也不一樣。

3.但是滑動(dòng)窗口傅里葉變換，顯然需要我們手動(dòng)賦予一些參數(shù)，窗口怎么設(shè)置...效果不一定好。

4.于是直到最近（1974），才開發(fā)出一種方法叫Wavelet Transform（小波變換），貌似解決了這方面的問題。

5.也就是說，小波變換大體是傅里葉變換的plus utilmate pro max版（當(dāng)然具體場景肯定具體應(yīng)用，不能說完全代替）。

今天找到了一個(gè)視頻介紹得特別清楚，https://www.youtube.com/watch?v=jnxqHcObNK4。

讓我影響深刻的有幾點(diǎn)：

1. 深刻點(diǎn)一，小波變換的基函數(shù)（以下簡稱base）就是一個(gè)設(shè)計(jì)好的“小波函數(shù)”，可以有不同的形狀：

   
   

特征1：定積分為0

特征2：模的定積分有限

顯然這個(gè)條件比較寬泛，不過一般都會(huì)Normalize，方便查看百分比。

最典型的一個(gè)是：

2.深刻點(diǎn)二，如果說FT（傅里葉變換，以下簡稱FT）的base是無數(shù)個(gè)不斷調(diào)整freq（頻率，以下簡稱freq）的sin函數(shù)，那么WT的base就是無數(shù)個(gè)不斷調(diào)整freq和tao（時(shí)域位移）的wavelet函數(shù)。以前我看不懂的?也能看懂了，b就是tao，a就是freq。整個(gè)函數(shù)在沿著時(shí)域軸變tao對(duì)b卷積，沿著頻域軸變freq對(duì)a卷積。

3.深刻點(diǎn)三，從信息角度來講，如果原函數(shù)是(100%時(shí)域，0%頻域)，其FT是(0%時(shí)域，100%頻域)，那么WT是兩者的折中，并且其實(shí)就是“海森堡不確定性原理(Heinsberg's Uncertainty Principle)”，所以小波變換同時(shí)犧牲了兩邊的一些信息量，換來了平衡。 可以看作是一個(gè)函數(shù)Func(in time,in freq,out realComp, out imgComp)，通過計(jì)算復(fù)數(shù)的模長，可以獲得類似頻域中的占比信息，但它同時(shí)還帶時(shí)域軸的信息：

如果能將整個(gè)視頻看完，那應(yīng)該是比較清楚的。

看完之后，我覺得這個(gè)WT的思路比FT清晰多了，而且我一直沒有實(shí)現(xiàn)過FFT海面，因?yàn)槭裁春惴ㄌ垓v了，我腦子不夠用。但全流程換成WT，好像簡單清晰了不少。

隨便想想的WT海面思路

1.首先有一個(gè)時(shí)間周期的原海面(in x,in y,out z)，不管怎么來的。

這個(gè)周期海面足夠復(fù)雜，但也是一個(gè)周期函數(shù)，也就是說不管哪一個(gè)(x,y)的點(diǎn)，都會(huì)遍歷到所有可能的z。那么(x,y)最后只是轉(zhuǎn)換成一個(gè)相位差。所以根本來說還是h(t)。

2.對(duì)h(t)進(jìn)行WT，獲得一張類似圖4的scalogram（占比百分度）。我們可以分幾個(gè)優(yōu)化擋位，lod0，先把紅色的點(diǎn)沿著time軸采出來，如果按圖4，就是大概(2,1),(4,2),(6,2.4),(8,2.5),(10,5)的點(diǎn)，也就是說在第2s，freq為1的base最匹配，以此類推，所以比如第3s，就可以lerp(wavelet[2,1],wavelet[4,2],0.5)這樣來采樣高度。然后lod1，lod2...是紅色稍弱，白色，藍(lán)色...的點(diǎn)，由于它們的百分占比不夠高，所以不影響波形的主體形象，從圖4上也很直觀，也就是一開始低頻占主體形象，后來高頻占主體形象。

3.因?yàn)榉凑闅v看最大，不如暴力求和。也就是說每幀都根據(jù)當(dāng)前t，在縱軸上由scalogram作權(quán)重全部求和，這就有點(diǎn)像FT還原原信號(hào)的意思。假設(shè)我們的scalogram圖片分辨率是64*64，那么其實(shí)就是一張1*64的圖片所有像素“求和”。這其實(shí)就類比FFT里的蝴蝶法，但是由于我們的base都是wavelet，且scalogram已經(jīng)是復(fù)數(shù)的合了，所以只要作“并行折疊加法“就行了，從1*64->1*32->1*16...一共6次Compute Shader的Dispatch，不算高不算低。不管怎么說，我覺得比FFT容易理解。