考研的小伙們都知道三角函數(shù)的相關(guān)積分不會出太難，都是基本題型，但有很多時候應(yīng)用背不熟公式，作者也是，為此我尋找到了一些高效的記憶三角函數(shù)相關(guān)公式的辦法：

一、三角函數(shù)的定義級六邊形記憶法：

這個六邊形是定義級。六邊形的畫法是先左sin右cos，然后對角線分別取倒數(shù)，對應(yīng)sec和csc，最后中間是左tan右cot。內(nèi)蘊關(guān)系如下：

（1）倒三角平方關(guān)系，左上2+右上2=下2

（2）兩翼歸中關(guān)系：左翼·右翼=中間2比如sina兩翼是tana、cos，tan的兩翼是sin和sec，循環(huán)遍歷六個頂點，

（3）六個對角線的倒數(shù)關(guān)系

這是3+6+6=15個基本關(guān)系式被高度濃縮傳神地表達了。

三角函數(shù)和雙曲函數(shù)是實虛對偶關(guān)系，也有相同形式的六邊形，三個定義級關(guān)系也形式相同。

這是因為三角函數(shù)實際上又叫圓函數(shù)，實域的圓可以是復(fù)域的雙曲線，而實域的雙曲線也可以是復(fù)域的圓。

（4）求導(dǎo)關(guān)系：

口訣是“左正右負；上互易，中下方，下中下”

在三角函數(shù)六邊形中，我們發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)時正負號為sin一側(cè)為正cos一側(cè)為負，如下圖：

二、三角函數(shù)的不定積分

ln加絕對值是擴充定義域到x的負半軸。

初學(xué)者常常為此感到困惑，一是三角函數(shù)的積分怎么就突然ln了，而有些形式相似的代數(shù)函數(shù)的積分有時候是ln，有時候是反三角函數(shù)。能積出ln，說明都能用湊微分法。

再說反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是代數(shù)函數(shù)，而不再是三角函數(shù)：

如圖，這是反函數(shù)求導(dǎo)、變量代換造成的。

接下來我們揭示三角函數(shù)（圓函數(shù)）、雙曲函數(shù)、e指數(shù)函數(shù)、ln對數(shù)函數(shù)的統(tǒng)一性。你一定想到了宇宙級公式：歐拉公式。沒錯，理解的切入口是借助歐拉公式，用e指數(shù)函數(shù)重新定義三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：

三角函數(shù)的e指數(shù)定義就再加轉(zhuǎn)換關(guān)系式：

然后，我設(shè)計了一個巧妙的辦法:

雙曲線的輔助三角形，x軸還和圓一樣，但y軸的單位是i

如果這個雙曲線是x2-y2=a2，只需把1換成a就行，也就是半徑的模方。

這里的x、y正是輔助三角形中的x、y，它們分別是復(fù)域單位圓周上某點的實部和虛部。

當(dāng)沒有根號時，三角函數(shù)六邊形、雙曲函數(shù)六邊形中的平方和關(guān)系不顯著，比如：

但我仍然覺得這個用不著反雙曲正切，裂項分項已足夠自然。