? ? 對(duì)于三角函數(shù)的n倍角的公式，高中生一般都學(xué)過，太俗的今天就不談了，和大家探討下那些很少見的余弦n倍角公式

? ? 首先要說一下棣莫弗公式，即

這個(gè)比較重要，今天的公式大多由它推導(dǎo)而得，這個(gè)公式是怎么來的呢？要借助歐拉公式

中間部分展開，得

采用求和符號(hào)，我們得到如下等式

由于i是虛數(shù)單位，根據(jù)它的周期關(guān)系，有

比較實(shí)部能得到前面的棣莫弗公式，這里就不詳述了。

下面推導(dǎo)一些高能公式

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

除了前面有公因式cos?x，后面可化成關(guān)于sin2x的式子，這樣得出余弦n倍角的式子，

為了計(jì)算正弦系數(shù)，再引入系數(shù)數(shù)列R，設(shè)

對(duì)比余弦n倍角的式子，可知

兩邊求導(dǎo)，得

為了得到遞推關(guān)系，兩邊再求導(dǎo)得

對(duì)比原式可知

經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有以下關(guān)系

其中

同理，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有

引入數(shù)列R，使下列等式成立

同理可知

求二階導(dǎo)得

比較原式可知

經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有以下關(guān)系

其中

? ? 這樣就證明出余弦n倍角的兩個(gè)n倍角公式，很冷門吧，只要有耐心、夠執(zhí)著，什么樣的公式都能見得到。

? ? 根據(jù)這些思路，你能不能結(jié)合n為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，寫出任意整數(shù)n的余弦倍角通用公式呢？如果你是老朋友，會(huì)看過相關(guān)的視頻，下面是證明過程，方法類似，就不贅述了，歡迎支持！