小約翰·納什（ John F. Nash Jr. ，1928-2015）最著名的突破是發(fā)現(xiàn)納什均衡，但在這之前，他還針對(duì)另一個(gè)問題，納什議價(jià)（討價(jià)還價(jià)）問題撰寫了一篇論文。納什議價(jià)問題是一個(gè)關(guān)于合作議價(jià)的研究，求證兩人討價(jià)還價(jià)問題的唯一解（Nash，1950）.議價(jià)問題中的設(shè)定可以簡單總結(jié)如下：

兩個(gè)玩家各自要求獲得一些財(cái)物（一般是一些金錢）中的一部分。如果二人索取的總和少于財(cái)物總額，那么兩人都能如愿以償；如果總和超過了財(cái)物總額，那么兩人什么都沒有。

納什對(duì)于后面這種情況提出了一個(gè)公理化的解決方法，本文就將介紹納什剛涉足馮諾依曼和摩根斯坦新發(fā)現(xiàn)的博弈論領(lǐng)域時(shí)首先獲得的成果，這為日后關(guān)于納什均衡的工作提供了靈感。

1.不變性：在議價(jià)前后效用函數(shù)隨偏好的轉(zhuǎn)變應(yīng)保持不變。

2.弱帕累托有效：如果有兩人都能獲益更多的結(jié)果s，那么玩家就不能同意另一種分配t。

3.無關(guān)選擇的獨(dú)立性：如果玩家在兩個(gè)解s和t中選擇，其中s是首選；如果一個(gè)備選解r出現(xiàn)，那么除非r的偏好變化，t仍不會(huì)超過s被選擇為解。

4.對(duì)稱性：如果玩家之間沒有區(qū)別，那么他們之間達(dá)成協(xié)議不應(yīng)有偏袒。

納什證明，滿足上述公理?xiàng)l件的解(x,y)正好可以使下面的表達(dá)式F取最大值：(u(x) — u(d)) (v(y) — v(d))

其中，u和v分別是玩家1和玩家2的效用函數(shù)，d則是無法達(dá)成協(xié)議的結(jié)果。這個(gè)解包含每個(gè)玩家獲得當(dāng)前收益（非合作收益）和合作收益。

背景

在離開位于西弗吉尼亞布魯菲爾德的家鄉(xiāng)三年后，20歲的納什進(jìn)入了大學(xué)。1948年，當(dāng)他還是卡耐基理工學(xué)院大三的學(xué)生時(shí)，就已經(jīng)獲得了哈佛、普林斯頓、芝加哥和密歇根大學(xué)，四個(gè)擁有美國頂尖數(shù)學(xué)項(xiàng)目的錄取。雖然納什的首選是相對(duì)更有名、社會(huì)地位和師資力量更強(qiáng)的哈佛大學(xué)，但由于在備受推崇的普特南競賽中表現(xiàn)平平，他在哈佛的獎(jiǎng)學(xué)金略低于普林斯頓；同時(shí)，納什在卡耐基的學(xué)術(shù)導(dǎo)師理查德·達(dá)芬（ Richard Duffin， 1909-1996）和約翰·辛格（ John L. Synge， 1897-1995）都力薦他選擇普林斯頓大學(xué)，其中一位甚至稱他為“小高斯”，認(rèn)為普林斯頓是“純數(shù)學(xué)（拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)學(xué)和數(shù)論）家的搖籃”，與他完美契合 （納薩爾, 1998） 。

而普林斯頓這邊，數(shù)學(xué)系主席所羅門·萊夫謝茨（ Solomon Lefschetz，1884-1972 ）同樣渴望說服納什，最終開出了每年1 150（相當(dāng)于2021年的13 200）美金的肯尼迪獎(jiǎng)學(xué)金：

我們喜歡把握住有前途的人，趁他們還年輕、思想開放。

——萊夫謝茨給納什的一封信

納什在獲得諾貝爾獎(jiǎng)的自述中提到，靠近自己的家鄉(xiāng)布魯菲爾德也是選擇普林斯頓大學(xué)的因素之一。于是由于種種原因，納什在1948年的夏天離開了新澤西，帶著卡耐基導(dǎo)師的鼓勵(lì)和萊夫謝茨個(gè)人的強(qiáng)烈歡迎，選擇了普林斯頓大學(xué)。

達(dá)芬給萊夫謝茨的推薦信里只有一句描述納什能力的話，后來變得非常有名：

他是一個(gè)數(shù)學(xué)天才。

下面展示了達(dá)芬和辛格的推薦信：

左：納什在卡耐基理工的論文導(dǎo)師達(dá)芬寫的推薦信，寄至普林斯頓大學(xué)的所羅門·萊夫謝茨教授；右：任卡耐基理工數(shù)學(xué)系主任的辛格寫的推薦信（圖源：Princeton University Archives ）

普林斯頓大學(xué)就讀時(shí)期（1948-1951）

納什20歲離開家鄉(xiāng)赴卡耐基上大學(xué)時(shí)，普林斯頓數(shù)學(xué)系充斥著聰慧的頭腦，系主任萊夫謝茨和拉夫·福克斯（Ralph Fox，1913-1973）、諾曼·斯廷羅德（Norman Steenrod，1910-1971）帶頭在美國首先開展拓?fù)鋵W(xué)研究；埃米爾·阿廷（Emil Artin，1898-1962）主攻代數(shù)；而萊夫謝茨的學(xué)生塔克（Albert W. Tucker，1905-1995）則主攻博弈論，這個(gè)學(xué)科在1944年馮·諾依曼（John von Neumann，1903-1957）和經(jīng)濟(jì)學(xué)家摩根斯特恩（Oskar Morgenstern，1902-1977）出版《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》一書后才剛剛興起。

普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)系位于名為Fine Hall（直譯為“好樓”）的大樓中，是40-50年代數(shù)學(xué)圈內(nèi)傳奇的代名詞。如納薩爾（Sylvia Nasar）在1998年所描述的：

（如一位歐洲裔所說，）我想Fine Hall是用于數(shù)學(xué)研究的最豪華的建筑，是一個(gè)可以去度假的數(shù)學(xué)鄉(xiāng)村俱樂部。

它的基石由維布倫（Oswald Veblen）設(shè)計(jì)，裝有著普林斯頓數(shù)學(xué)家們工作的副本和業(yè)內(nèi)一些常用工具的鉛盒：兩只鉛筆、一段粉筆，當(dāng)然，還有一塊橡皮。

“它代表數(shù)學(xué)家們‘賴著不走’的圣所，暗色石頭所包圍構(gòu)成的走廊既適合獨(dú)自散步，也適合‘?dāng)?shù)學(xué)社交’。為高級(jí)教授準(zhǔn)備的九個(gè)書房——注意不是辦公室——有著雕刻的石板、隱藏式櫥柜、黑板、東方地毯和厚重的軟墊家具?！?/p>

“每個(gè)辦公室都配有電話、盥洗室都配有閱讀燈；三樓庫存豐富的圖書館全天開放，擁有世界上最豐富的數(shù)學(xué)期刊和書籍；愛好網(wǎng)球的數(shù)學(xué)家們?cè)诨剞k公室前無需再回家一趟（附近有個(gè)網(wǎng)球場），因?yàn)樗O(shè)有淋浴的更衣室?！?/p>

——納薩爾《美麗心靈》（1998）

納什當(dāng)時(shí)是一個(gè)由塔克領(lǐng)導(dǎo)的推進(jìn)初期博弈論發(fā)展的學(xué)派成員之一，他們從純數(shù)學(xué)意義出發(fā)，基本不關(guān)心研究內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用。據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、納什的好朋友、摩根斯特恩的學(xué)生舒比克（Martin Shubik，1926-2018）所說：

當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)系的學(xué)生和職工都沉浸在研究博弈論的幸福中，完全沒有意識(shí)到經(jīng)濟(jì)學(xué)系對(duì)此的態(tài)度，當(dāng)然他們即使知道，也不會(huì)關(guān)心。在普林斯頓沒待多久，經(jīng)濟(jì)學(xué)系和數(shù)學(xué)系之間鮮明不同的態(tài)度就根植在我心里了。經(jīng)濟(jì)學(xué)系有一種培養(yǎng)常規(guī)博士工廠、一切照舊的保守主義氛圍，其中不乏明星但毫無激情和挑戰(zhàn)可言；而后者則被靈感和狩獵的純粹樂趣所點(diǎn)亮。從心理學(xué)上來說，他們好像來自于不同的星球。如果在下午茶時(shí)間，一個(gè)光著腳、穿著破爛牛仔褲的十歲大的流浪小孩帶著一個(gè)非常有趣的理論走進(jìn)Fine Hall，那一定會(huì)有人去聽；但當(dāng)馮·諾伊曼進(jìn)行有關(guān)增長模型的研討會(huì)時(shí)，除了少數(shù)幾個(gè)例外，普林斯頓那一大群經(jīng)濟(jì)學(xué)家肯定會(huì)無聊到只打哈欠。

——舒比克（參考 Düppe and Weintraub, Finding Equilibrium* , 2014 p. 94）

而學(xué)派的領(lǐng)導(dǎo)人塔克，則繼續(xù)指導(dǎo)普林斯頓未來的頂級(jí)博弈論學(xué)家，包括大衛(wèi)·戈?duì)枺―avid Gale，1921-2008）、2012年諾貝爾獎(jiǎng)獲得者羅伊德·沙普利（Lloyd Shapley，1923-2016），當(dāng)然，還有納什。

議價(jià)問題（1949）

在研究納什均衡以前，納什發(fā)表了他第一篇期刊論文——同樣關(guān)于博弈論，將經(jīng)典經(jīng)濟(jì)學(xué)問題視為議價(jià)過程。此前已經(jīng)有不少學(xué)者（包括Cournot、Bowley、Fellner等人）從包括雙邊壟斷調(diào)查等不同角度，對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行過研究。

左：學(xué)生時(shí)期的納什；右：納什1950年的論文《議價(jià)問題》（ The Bargaining Problem. Econometrica 18(2), pp. 155-162. ）

納什的文章描述了這樣一種議價(jià)的情況：兩個(gè)人都有機(jī)會(huì)互惠互利，但是沒有一方可以在未經(jīng)允許的情況下單方面影響另一方的牟利。類似于經(jīng)典的“劃分選擇協(xié)議”的情況：兩個(gè)人需要公平地分配一個(gè)蛋糕，那么其中一個(gè)人切蛋糕，另一個(gè)人可以優(yōu)先決定自己想要哪一份，這就是無嫉妒蛋糕分配機(jī)制。

納什的論文就是基于這樣的議價(jià)情況進(jìn)行理論分析，同時(shí)在特定條件或其他“理想化條件下”給出確定的“解”，即確定滿足個(gè)體期望的收益。這樣的理想化條件包括：假設(shè)兩個(gè)個(gè)體是理性的，并可以對(duì)各種物品有著精確的偏好感知，具有相同的議價(jià)能力，以及完全了解對(duì)方的偏好信息。

納什的解法采用了從馮·諾伊曼和摩根斯特恩的書中發(fā)展出的效用的概念，也使用了期望的概念定義不同玩家在給定策略下認(rèn)可的收益。在納什的文章中，他假設(shè)有一個(gè)人小明，知道自己第二天會(huì)獲得一百塊錢，那么可以說他有“一百塊的期望”；類似地，他也可以有“兩百塊的期望”。如果他知道，次日會(huì)通過拋一枚公平的硬幣來決定他獲得一百還是兩百，那么可以說他有“50%一百和50%兩百”的期望。

對(duì)于在這種情形下的單個(gè)個(gè)體效用理論，納什提供了充分的假設(shè)，并對(duì)他在1944年發(fā)表的論文《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》中提出的情形進(jìn)行區(qū)分。他認(rèn)為，論文中并未分別對(duì)每個(gè)人參與博弈的價(jià)值進(jìn)行估算，除非這個(gè)博弈是零和的（）。于是對(duì)于雙人的非零和博弈，納什對(duì)參與玩家的預(yù)期值進(jìn)行了推導(dǎo)：

首先定義一個(gè)雙人期望值為兩個(gè)單人期望值的某種組合：如果有兩位玩家，各自對(duì)未來的情形有準(zhǔn)確的期望，且單人期望值可以構(gòu)成雙人期望，那么單人效用函數(shù)可以用于求雙人效用函數(shù)的期望值。這樣如果有兩位玩家，各自對(duì)未來的情形有準(zhǔn)確的期望，且單人期望值是構(gòu)成雙人期望的元素，那么我們可以將單人的效用函數(shù)以及各自的概率用于求雙人的期望值：

如果 [A, B]代表一個(gè)雙人期望，且 0 ≤ p ≤ 1，那么 p[A,B] + (1 - p)[C,D]= [pA + (1-p)C, pB + (1-p)D]。

納什定義了兩個(gè)個(gè)體的效用函數(shù)為?和?，且將 c(S) 定義為包含原點(diǎn)的緊凸集合?S 內(nèi)的解點(diǎn)。首先他提出了一些必要的假設(shè)，保證?最大時(shí)的解落在第一象限：集合的緊性保證解存在，而凸性保證解唯一。

圖1 來自納什的論文《議價(jià)問題》，示意了玩家1和玩家2的效用集合S中唯一最優(yōu)點(diǎn)。

議價(jià)問題實(shí)例（納什，1950）

假設(shè)小明和小紅兩個(gè)很聰明的人，他們手上只有可以交換的貨物，但是沒有錢用來找零。為了簡單起見，再假設(shè)一個(gè)人獲得所有物品的效用是這部分中各貨品對(duì)他的效用之和。下面的表格列出了每個(gè)物品的所屬權(quán)和對(duì)每個(gè)人的效用，兩個(gè)個(gè)人的效用函數(shù)單位是任意的。

小明擁有的貨品：

小紅擁有的貨品：

這個(gè)議價(jià)問題的圖像是一個(gè)凸多邊形，其中效用乘積最大的點(diǎn)在一個(gè)頂點(diǎn)上，對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)預(yù)期，其中：

小明給小紅：書、鞭子、小球和球拍；

小紅給小明：鋼筆、玩具和小刀。

納什在論文中對(duì)此議價(jià)問題進(jìn)行的作圖

實(shí)例：解點(diǎn)位于第一象限、矩形雙曲線與可選集合的唯一切點(diǎn)上。

目前我們還不清楚納什如何得出這樣結(jié)果的過程，他要好的朋友，出版于2002年的納什傳記《 The Essential John Nash 》的作者之一——庫恩（Harold Kuhn，1925-2014）回憶這篇論文時(shí)說：

我記得（這篇文章）在納什畢業(yè)后的第一年就送到了馮·諾伊曼手中，納什當(dāng)時(shí)還提醒了馮·諾伊曼（這篇文章的）存在。如此看來，這篇文章應(yīng)該是納什還在卡耐基理工時(shí)上的唯一一門經(jīng)濟(jì)學(xué)選修課的課程論文。

但他補(bǔ)充道：

納什的記憶與我有出入，他在1995年某次和羅杰·梅耶森的午餐中說到，他是到了普林斯頓之后才寫的這篇論文。無論這篇文章的真實(shí)歷史如何，其中的舉例暗示寫作的是個(gè)年輕人，因?yàn)槲锲钒ㄇ蚺?、球或是鋼筆小刀之類的東西?？梢源_定的是，當(dāng)時(shí)納什還從未讀過論文引文部分所提到的古諾、鮑利、廷特納以及費(fèi)爾納的工作。

—— 庫恩

納什20歲時(shí)到了普林斯頓大學(xué)，終于在1950年的時(shí)候在著名期刊《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》上發(fā)表了自己的論文《議價(jià)問題》：

Nash (1950). The Bargaining Problem. Econometrica 18(2), pp. 155-162.

與馮·諾依曼的交流

盡管納什的推論在某種程度上與馮·諾伊曼和摩根斯特恩關(guān)于合作博弈論的工作相反，但他為非合作博弈理論打下的基礎(chǔ)顯然來源于前人工作。也因?yàn)槭艿搅诉@樣的啟發(fā)，納什發(fā)現(xiàn)了納什均衡， 得以在1978年獲得約翰·馮·諾伊曼理論獎(jiǎng)。

現(xiàn)存的文件中只找到了一份記載納什和馮·諾伊曼之間的交流，可以肯定的是其余多數(shù)都已經(jīng)隨著時(shí)間而丟失了。據(jù)納薩爾回憶，納什在1949年普林斯頓統(tǒng)考后沒幾天就與馮·諾伊曼進(jìn)行了談話——在他發(fā)現(xiàn)納什均衡之前：

當(dāng)時(shí)他驕傲地告訴秘書，他準(zhǔn)備和馮·諾伊曼教授討論一個(gè)能激起他興趣的想法。對(duì)于一個(gè)研究生來說，這是件相當(dāng)大膽的事情。

…這當(dāng)然像是納什會(huì)做出的事情，畢竟他前一年還帶著一個(gè)想法去見了愛因斯坦… 他聽得很認(rèn)真，輕敲著手指，時(shí)不時(shí)還偏一偏頭。納什開始描述腦海中對(duì)超過兩位玩家博弈的均衡的證明。

馮·諾伊曼在他說出更多雜亂的句子以前打斷了他，突然對(duì)納什未下定論的闡述說：“這沒什么意思，只是個(gè)不動(dòng)點(diǎn)理論罷了。”

——納薩爾《美麗心靈》 (1998)

看起來馮·諾伊曼并沒有在納什討論的非合作博弈論的概念中看到價(jià)值，但納什隨后便在給歷史學(xué)家羅伯特·萊納德的信中為這位偉人的反應(yīng)辯護(hù)，他分析道：

我當(dāng)時(shí)在和馮·諾伊曼進(jìn)行一場非合作博弈，而不只是尋求加入他的聯(lián)盟；顯然從心理學(xué)上說他不會(huì)對(duì)一個(gè)競爭的理論完全滿意。

雖然如此，馮·諾伊曼和摩根斯特恩最終都給予了納什有價(jià)值的指導(dǎo)，在納什發(fā)表的論文中，對(duì)兩人都進(jìn)行了致謝：

作者希望感謝馮·諾伊曼和摩根斯特恩教授的幫助，他們?cè)陂喿x完論文的初稿后都提供了非常有幫助的建議。

參考文獻(xiàn)

? Düppe, T. & Weintraub, E.R. 2014. Finding Equilibrium*. Princeton University Press.

? Nasar, S. 1998. A Beautiful Mind. Simon & Schuster.

? Nash, J. F. 1950. The Bargaining Problem. Econometrica 18(2), pp. 155-162.

? von Neumann, J. & Morgenstern, O. 1944. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.

作者：J?rgen Veisdal

翻譯：zhenni

審校：藏癡

原文鏈接：Nash's Bargaining Problem (1950)