哈嘍！來(lái)啦！

本來(lái)在想什么時(shí)候開始寫，后來(lái)想了一想還是現(xiàn)在開始寫。（當(dāng)代經(jīng)典無(wú)意義文學(xué)了屬于是，doge。）

其實(shí)主要原因還是因?yàn)閷懲炅藬?shù)分之后，心里的那種失落感總是不斷地沖刷著我。我估計(jì)很多小說(shuō)家，作家和畫師或者連載作者一類的職業(yè)的相關(guān)從事人員估計(jì)比較容易體會(huì)這種心情吧……所以我想開一點(diǎn)新的東西來(lái)緩解一下。（有種大號(hào)通關(guān)了舍不得又開了個(gè)小號(hào)的異曲同工之妙，喵~）

本來(lái)還在糾結(jié)高等代數(shù)和常微分方程先搞哪個(gè)，但是我代數(shù)學(xué)的實(shí)在是不怎么樣……所以還得把代數(shù)學(xué)的內(nèi)容在精進(jìn)一些才比較好寫一些東西。（我的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課里代數(shù)學(xué)是學(xué)的工科的線性代數(shù)，即使是這種難度其實(shí)也理解的不太好，我總覺(jué)得我更能理解分析學(xué)的很多想法和思路，以至于同樣是證明題，代數(shù)學(xué)的證明對(duì)于我來(lái)說(shuō)就難很多，甚至于計(jì)算都是難事。）

但是常微分方程作為分析學(xué)的延伸領(lǐng)域，倒挺適合在寫完數(shù)分之后就接上的，這樣就能夠?qū)⒑芏喾治鰧W(xué)知識(shí)理解得更好，同時(shí)也能借助剛學(xué)完分析學(xué)的東風(fēng)很快上手常微分方程的內(nèi)容。

雖然常微分方程可能還會(huì)涉及到一點(diǎn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，不過(guò)等到那一部分的時(shí)候，估計(jì)代數(shù)學(xué)也已經(jīng)開了一點(diǎn)了吧，估計(jì)也就夠用了。所以，慢慢來(lái)吧~（樂(lè)）

我用的參考教材呢，是王高雄老師編寫的《常微分方程》和俄選數(shù)學(xué)譯叢中原著為龐特里亞金的《常微分方程》。在前面有關(guān)初等積分法的部分，基本上按照王高雄老師的編寫的教材來(lái)介紹，而后期開始，尤其是從存在唯一性定理開始，可能就會(huì)偏向使用俄選數(shù)學(xué)譯叢了。

基本情況介紹的差不多了，那么……我們就開始吧！

Chapter? One? 常微分方程緒論

回憶一下我們?cè)跀?shù)學(xué)分析當(dāng)中所學(xué)到的各種知識(shí)，我們不難總結(jié)出來(lái)，實(shí)際上數(shù)學(xué)分析所集中研究和處理的內(nèi)容，就是有關(guān)函數(shù)以及函數(shù)的微積分學(xué)的內(nèi)容。如果函數(shù)是顯式的，那么我們就能夠直接研究它的很多分析性質(zhì)；但如果函數(shù)是隱式的，我們就要考慮利用隱函數(shù)定理等內(nèi)容來(lái)研究它的分析性質(zhì)。

當(dāng)所研究的函數(shù)是隱函數(shù)的時(shí)候，多半是以函數(shù)方程的形式表達(dá)出來(lái)的。這種時(shí)候，在使用隱函數(shù)定理之前，我們可能會(huì)更傾向于將真實(shí)的顯函數(shù)解出來(lái)。如果函數(shù)方程是廣義代數(shù)方程時(shí)（即只涉及到各種函數(shù)本身的基本代數(shù)運(yùn)算，而沒(méi)有出現(xiàn)微分、積分等其他高等運(yùn)算的方程），我們一定程度上可以通過(guò)一些手段來(lái)達(dá)到這一目的；但是，如果函數(shù)方程中涉及到了微分或者積分運(yùn)算，問(wèn)題相對(duì)就要變得復(fù)雜一些了。

我們將含自變量，未知函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)（或者說(shuō)是微分）的函數(shù)方程，稱之為微分方程。特別地，當(dāng)自變量只有一個(gè)的時(shí)候，這說(shuō)明未知函數(shù)是關(guān)于該自變量的一個(gè)一元函數(shù)，這時(shí)我們稱這一微分方程為常微分方程；如果自變量不止一個(gè)，那么我們就稱其為偏微分方程。

常微分方程是數(shù)學(xué)分析或者說(shuō)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈當(dāng)中都占據(jù)著十分重要的地位。從應(yīng)用方面來(lái)看，常微分方程在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和許多其他領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，包括物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)等等等等……在反映客觀世界真實(shí)的量與量之間的各種關(guān)系的表達(dá)中，涉及到了大量的常微分方程，這也表明常微分方程成為了我們進(jìn)一步了解客觀世界的各種關(guān)系的有力工具。

因此，我們有相當(dāng)大的必要，來(lái)好好地仔細(xì)研究常微分方程的相關(guān)內(nèi)容，來(lái)為我們后續(xù)學(xué)習(xí)建立起足夠的基礎(chǔ)。

至于為什么不在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中直接介紹這一部分內(nèi)容，一部分原因是，目前的數(shù)學(xué)分析教學(xué)體系已經(jīng)相當(dāng)?shù)膰?yán)密與充實(shí)，將這一部分內(nèi)容再加入進(jìn)去就會(huì)顯得有一些臃腫；另外一方面，常微分方程發(fā)展至今，已經(jīng)不是三言兩語(yǔ)就能介紹得清楚的，而其重要作用又需要將其介紹的稍微細(xì)致一些，不能含糊其辭，也不方便有所省略。因此將其作為單獨(dú)的理論拿出來(lái)，專門開設(shè)相關(guān)內(nèi)容，就能將其介紹得更詳細(xì)、更完善一些。

我們先來(lái)引入幾個(gè)模型，來(lái)簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)一下常微分方程~

模型1：數(shù)學(xué)擺

所謂數(shù)學(xué)擺，就是在一根長(zhǎng)度為l的細(xì)線端點(diǎn)上系上一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。這一系統(tǒng)的另一端點(diǎn)固定，質(zhì)點(diǎn)在所受到的重力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)地狀態(tài)與受力如下圖所示。

我們不討論物理細(xì)節(jié)，只是基于一些物理學(xué)的基本結(jié)論來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。我們的核心是介紹常微分方程。

物理學(xué)中認(rèn)為，這樣的擺動(dòng)在無(wú)阻力影響下應(yīng)該是周期的，并且運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該關(guān)于圓心與最低點(diǎn)的連線軸對(duì)稱。我們暫不考慮向心加速度，只關(guān)心切向加速度。基于Newton第二定律（其實(shí)，Newton第二定律本身就是個(gè)微分方程），我們很容易發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該有：

而又因?yàn)椋?/p>

于是就有：

考慮到：

于是就得到了：

模型2：人口模型

英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Malthus在擔(dān)任牧師期間，通過(guò)查看當(dāng)?shù)亟烫?00多年的人口出生統(tǒng)計(jì)資料，驚奇地發(fā)現(xiàn)，人口出生率大致為一個(gè)常數(shù)！基于他所發(fā)現(xiàn)的這一現(xiàn)象，在1798年，他發(fā)表了《人口原理》一書。在其中，他根據(jù)自己提出的基本假設(shè)——在人口自然增長(zhǎng)的過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)r（稱為生命系數(shù)）——提出了聞名于世的Malthus人口模型。

將Malthus的基本假設(shè)寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式，就是：

因此，就有：

這就是著名的Malthus模型。我們很容易利用這個(gè)方程分析出來(lái)（甚至無(wú)需解出具體函數(shù)的表達(dá)式），當(dāng)r＞0時(shí)，人口數(shù)量將會(huì)遞增至無(wú)窮大。

當(dāng)人口總數(shù)不大時(shí)，這一結(jié)論是相當(dāng)合理的，因?yàn)榇藭r(shí)各種資源是極大充裕的，足夠人口無(wú)限制地增長(zhǎng)。但是，各種資源的總和實(shí)際上是相當(dāng)有限的，因此人口也不可能無(wú)限增長(zhǎng)沒(méi)有節(jié)制，這個(gè)時(shí)候，Malthus模型就不再適用了。

考慮到這一點(diǎn)，荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù)，稱其為環(huán)境最大容納量，用以表示在自然條件和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)，并假設(shè)凈相對(duì)增長(zhǎng)率實(shí)際上為：

于是，人口模型就變成了：

此即另一個(gè)有名的人口模型——Logistic模型。

模型3：生態(tài)群模型

意大利生物學(xué)家D'Ancona發(fā)現(xiàn)，年間捕魚量減少，但是相對(duì)的，捕獲到的食肉魚的占比卻急劇增加。為了解釋這一現(xiàn)象，意大利的數(shù)學(xué)家Volterra建立了一個(gè)關(guān)于食肉魚與被食魚的生長(zhǎng)情形的數(shù)學(xué)模型。

我們?cè)O(shè)食肉魚的總數(shù)為，被食魚的總數(shù)為。當(dāng)無(wú)食肉魚時(shí)，被食魚本身應(yīng)該按照一定的模型增長(zhǎng)。由于實(shí)際上受到一定的制約使得被食魚的總量達(dá)不到其理想上限，甚至偏離很遠(yuǎn)，所以我們可以使用Malthus模型來(lái)估計(jì)被食魚的增長(zhǎng)，即：

現(xiàn)在，我們考慮食肉魚的作用。假如說(shuō)食肉魚每與被食魚相遇，就有一定的概率因?yàn)樯嫘枰妒潮皇臭~，那么，在一定時(shí)間內(nèi)，被食魚的總量應(yīng)該就為：

（為表征兩類魚相遇以及捕食行為發(fā)生的概率的常數(shù)。）

此時(shí)，就有：

而食肉魚的情況則與之不同。因?yàn)槭橙怍~的食物是被食魚，它們的數(shù)量是有限的，因此其自然相對(duì)凈增長(zhǎng)率也要受到因此限制。自身數(shù)量越多，增長(zhǎng)的幅度就要越慢；而被食魚的數(shù)目越多，則生存就會(huì)更容易。綜合一下，就表達(dá)成：

我們目前只考慮了無(wú)人類捕獵活動(dòng)的情況，得到的這一模型稱為Volterra捕食-被捕食模型。

像這樣的模型還有很多，比如說(shuō)傳染病傳播模型、交通模型、天氣系統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型等等，其基本理論很多都是由一些微分方程構(gòu)成的。這也再次讓我們認(rèn)識(shí)到了微分方程的重要作用。

我們前面已經(jīng)介紹過(guò)微分方程的基本種類，包括常微分方程與偏微分方程。這是最為基本的兩種劃分方式。但是，其他角度的劃分也是存在的，比如說(shuō)，在某些情況下，方程的表達(dá)與解當(dāng)中涉及到了復(fù)數(shù)，此時(shí)我們稱微分方程為復(fù)值微分方程；對(duì)應(yīng)地，只有實(shí)數(shù)與實(shí)變數(shù)的微分方程就稱之為實(shí)值微分方程。又比如，在涉及到高階導(dǎo)數(shù)的微分方程里，如果微分方程能夠表達(dá)成：

我們就稱這是線性微分方程；對(duì)于不是線性的微分方程，我們稱之為非線性微分方程。

介紹完微分方程的基本分類，我們接下來(lái)看一看微分方程的解。

我們知道，常微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，換句話說(shuō)，就是表達(dá)成：

或

對(duì)于前者，我們稱其為顯式解；而對(duì)于后者，我們就稱之為隱式解，有時(shí)候也稱為“積分”。二者的區(qū)別不過(guò)就是解的表達(dá)方式不同，其實(shí)質(zhì)上是一樣的結(jié)果。只不過(guò)，很多時(shí)候解出來(lái)的解的形式并不像我們理想的那么好，解出顯式解難度很高，于是我們退而求其次，選擇以隱式解來(lái)表達(dá)方程的解。

因?yàn)槲覀冊(cè)诮馕⒎址匠虝r(shí)，所依據(jù)的基本都是積分學(xué)的內(nèi)容。而無(wú)論是考慮定積分還是不定積分，我們都能夠想到，解出來(lái)的解應(yīng)該是一個(gè)函數(shù)族，它們?cè)谝欢ǔ潭壬现幌嗖钜粋€(gè)任意常數(shù)。因此，我們解出來(lái)的解，一般而言都是關(guān)于這些一般獨(dú)立的常數(shù)以及自變量的多元函數(shù)。這種能夠表示出所有解的表達(dá)方式，我們稱之為微分方程的通解；而對(duì)應(yīng)的，對(duì)于特別給定的常數(shù)，我們得出來(lái)的，都是微分方程的特解。此時(shí)，我們也稱隱式通解為“通積分”。

給定常數(shù)以求出特解的方式有很多，常見(jiàn)的就有兩類——初值條件與邊界條件。我們將求解特定條件下的特解的問(wèn)題稱之為定解問(wèn)題，給定初值條件時(shí)，我們稱之為初值問(wèn)題；而給定邊界條件時(shí)，我們稱之為邊值問(wèn)題。邊值問(wèn)題的解決更多的是在偏微分方程當(dāng)中涉及的比較多，我們主要討論的是初值問(wèn)題。

隱式通解的圖像表達(dá)為平面上的一族曲線，其中的任何一條都稱為微分方程的積分曲線。如果我們將微分方程表達(dá)成：

我們就知道，積分曲線上的每一點(diǎn)的斜率，都是方程右側(cè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的值。因此，我們可以用在平面上某區(qū)域上定義過(guò)各點(diǎn)的小線段的斜率方向，這樣的區(qū)域稱之為微分方程的方向場(chǎng)，又稱向量場(chǎng)。我們可以用向量場(chǎng)來(lái)定義或代表相應(yīng)的微分方程。

方向場(chǎng)中的方向相同的曲線滿足：

這些曲線稱為等傾曲線或者等傾線。等傾線可以用于判斷積分曲線的走向。

我們上述介紹的幾個(gè)模型當(dāng)中，有關(guān)生態(tài)群模型給出的實(shí)際上是一個(gè)方程組。由微分方程構(gòu)成的方程組稱之為微分方程組。一般而言，微分方程組有兩類，一類是常微分方程組，另一類是偏微分方程組。二者的主要區(qū)別是，常微分方程組的自變量是單一的，方程組表達(dá)的只不過(guò)是關(guān)于這個(gè)變量的幾個(gè)不同的函數(shù)之間的作用關(guān)系；而偏微分方程組則不僅涉及到函數(shù)之間的作用關(guān)系，自變量也不唯一。用相對(duì)簡(jiǎn)潔一點(diǎn)的話來(lái)說(shuō)，就是常微分方程是一元向量值函數(shù)的微分方程，而偏微分方程組則是多元向量值函數(shù)的微分方程。

對(duì)于常微分方程組而言，有一類特殊形式的方程組：

值得我們注意?？梢钥闯鰜?lái)，這類方程組的特點(diǎn)是右側(cè)多元函數(shù)不直接包含自變量t。此時(shí)，稱這一方程組為駐定的，或稱為自治的；反之，如果右側(cè)函數(shù)直接含有自變量t，則稱這一方程組為非駐定的，或稱為非自治的。

非駐定方程組一般都可以化成駐定方程組，只是方程組的維數(shù)要升高。變換方式為：

此時(shí)，方程組的維數(shù)升了一維。

駐定方程組的概念與研究在動(dòng)力系統(tǒng)中涉及到的比較多，但是這并不在我們嚴(yán)格討論的范圍之內(nèi)，因此我們也就介紹到這。

最后，我們來(lái)介紹一點(diǎn)其他的概念——相空間和軌線。

所謂相空間，就是僅由未知函數(shù)組成的空間。我們知道，積分曲線實(shí)際上表明了未知函數(shù)與自變量之間的作用關(guān)系，是微分方程解的圖形表示。因此，積分曲線實(shí)際上是由未知函數(shù)與自變量所共同構(gòu)成的空間當(dāng)中的一族曲線。如果我們稱積分曲線所在空間為解空間，那么在這個(gè)意義下，我們知道，相空間實(shí)際上是解空間的子空間。在相空間中滿足微分方程的點(diǎn)，實(shí)際上都是解空間中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的投影。這樣，所有積分曲線在相空間的投影，就構(gòu)成了一族在相空間中的曲線，稱之為軌線，又稱為平衡解（駐定解、常數(shù)解），也稱為奇點(diǎn)。

對(duì)于特殊形式的微分方程的積分曲線，我們有對(duì)應(yīng)的判斷其走向的方式。而對(duì)于軌線的走向，我們也可以做一些研究。

我們以二維微分方程組為例，來(lái)研究軌線的走向。

設(shè)方程組有如下形式：

其相空間是個(gè)二維平面，稱為相平面。相平面上軌線的走向取決于y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)或者x關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)。從微分的運(yùn)算性質(zhì)，我們不難得到：

這就標(biāo)明了軌線的走向。

我們還可以利用等傾線法確定軌線的方向。利用上面的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，我們得到了垂直等傾斜線；當(dāng)時(shí)，我們得到了水平等傾斜線。有了這兩條等傾線，我們就可以利用它們對(duì)相平面的分割，來(lái)判斷軌線的走向。（向左/向右，向上/向下）

至此，我們已經(jīng)將常微分方程的基本概念介紹的差不多了。

常微分方程作為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，并不僅僅是計(jì)算技巧和提示的高度匯集，更是數(shù)學(xué)思想的集合地。在后續(xù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們之前在數(shù)學(xué)分析中介紹過(guò)的很多內(nèi)容，在常微分方程當(dāng)中都有著應(yīng)用與體現(xiàn)；而很多代數(shù)學(xué)的思想與內(nèi)容，在常微分方程中也都有所出現(xiàn)。

事實(shí)上，常微分方程雖然有很大的應(yīng)用價(jià)值，但是應(yīng)用并不是它的最重要的部分。事實(shí)上，正是因?yàn)槌Ｎ⒎址匠逃兄S富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，所以才可能衍生出很多的應(yīng)用角度。這些應(yīng)用本質(zhì)上都是常微分方程的數(shù)學(xué)內(nèi)容的一般體現(xiàn)，并不能夠算作是重點(diǎn)。

當(dāng)代數(shù)學(xué)大師對(duì)常微分方程的重要意義的認(rèn)識(shí)是“常微分方程對(duì)其他學(xué)科領(lǐng)域的重要性在于它能啟發(fā)、統(tǒng)一并推動(dòng)這些學(xué)科領(lǐng)域”“此外，了解常微分方程與其他學(xué)科之間是如何聯(lián)系的，對(duì)于學(xué)生及數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，是獲得洞察和啟示的一種主要源泉”。

與諸君共勉。

最後の最後に、ありがとうございました！