【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)39】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線(xiàn)性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積。
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿(mǎn)足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱(chēng)B為A的逆方陣，而稱(chēng)A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿(mǎn)足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿(mǎn)足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣，若A'=-A，則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱(chēng)A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）
《解析幾何》（呂林根 許子道?編）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
求數(shù)列極限：I=lim n[n^（1/n）-1]^2
解：
n>3時(shí)，
n
=[n^（1/n）]^n
=[n^（1/n）-1+1]^n
=1+n[n^（1/n）-1]+n（n-1）[n^（1/n）-1]^2/2+n（n-1）（n-2）[n^（1/n）-1]^3/6+……
>n（n-1）（n-2）[n^（1/n）-1]^3/6，
則n^（1/n）-1<[6/（n-1）（n-2）]^（1/3）；
0
<=n[n^（1/n）-1]^2
<?n[6/（n-1）（n-2）]^（2/3）
=[6n^（3/2）/（n^2-3n+2）]^（2/3）
={6/[n^（1/2）-3n^（-1/2）+2^（-3/2）]}^（2/3），
lim?n[6/（n-1）（n-2）]^（2/3）=0，則I=lim n[n^（1/n）-1]^2=0.
解析幾何——
例題（來(lái)自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——
證明：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
證：
由向量積定義（axb）xc⊥c，（axb）xc⊥axb；
a⊥axb，b⊥axb；所以（axb）xc與a，b共面.
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：如果數(shù)域K上n級(jí)矩陣A滿(mǎn)足bmA^m+bm-1A^（m-1）+……+b1A+b0E=0，其中bi屬于K，i=0，1，……，m，且b0不為0，那么A可逆，并且求A^（-1）.
證：
bmA^m+bm-1A^（m-1）+……+b1A+b0E=0，
則bmA^m+bm-1A^（m-1）+……+b1A=-b0E，
則-bm/b0A^m-bm-1/b0A^（m-1）-……-b1/b0A=E，
（-bm/b0A^（m-1）-bm-1/b0A^（m-2）-……-b1/b0E）A=E，即A可逆；
A^（-1）=-bm/b0A^（m-1）-bm-1/b0A^（m-2）-……-b1/b0E，證畢。
到這里！
