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數(shù)學(xué)知識(shí)

0:07 最簡(jiǎn)單的開始方式 -- 1 被公理地給出為第一個(gè)自然數(shù)（盡管在一些分析文本中，他們首先聲明 0 是自然數(shù)）

0:13 平等——你在數(shù)學(xué)課上學(xué)到的兩個(gè)對(duì)象之間的第一個(gè)關(guān)系。

0:19 加法——四個(gè)基本算術(shù)運(yùn)算中的第一個(gè)。

0:27 重復(fù)添加 1，這就是我們?cè)诩险撝卸x其余自然數(shù)的方式； 也是乘法的預(yù)兆。

0:49 除 1 之外的數(shù)字的加法，可以使用我們所知的加 1 來(lái)定義。 （證明略）

1:23 減法——四個(gè)算術(shù)運(yùn)算中的第二個(gè)。

1:34 我們的第一個(gè)負(fù)數(shù)！ 它也可以表示為 e^(i*pi)，是將 e^x (\sum x^n/n!) 的泰勒級(jí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)的結(jié)果。

1:49 e^(i*pi) 自身乘以 i，這打開了一扇通往……想象王國(guó)的大門？ 也暗示了橙色實(shí)際上是在現(xiàn)實(shí)世界中的事實(shí)。 TSC現(xiàn)在如何才能再次達(dá)到數(shù)量？

2:12 重復(fù)減 1，類似于自然數(shù)的減法。

2:16 消極乘以消極，產(chǎn)生積極。

2:24 乘法，以及通過重復(fù)加法或任何運(yùn)算對(duì)其進(jìn)行解釋。

2:27 乘法的交換律，以及 12 的因數(shù)。

2:35 除法，最后的算術(shù)運(yùn)算； 也很好地表明 - 和 / 之間的關(guān)系就像 + 和 x 一樣！

2:37 除法是將重復(fù)減法的次數(shù)計(jì)數(shù)到零。

2:49 除以零以及為什么它沒有意義。 令人驚訝的是 TSC 沒有從中創(chuàng)造出黑洞。

3:04 乘冪作為重復(fù)乘法。

3:15 更高的指數(shù)如何對(duì)應(yīng)于幾何尺寸。

3:29 任何非零的零次方都是 1。

3:31 負(fù)指數(shù)！ 以及它與分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系。

3:37 小數(shù)指數(shù)和平方根！ 我們現(xiàn)在越來(lái)越近了...

3:43 無(wú)理數(shù)的十進(jìn)制展開（如 sqrt(2)）是不規(guī)則的。 （我避免說(shuō)“無(wú)限”，因?yàn)閺募夹g(shù)上講，每個(gè)實(shí)數(shù)都有無(wú)限的小數(shù)擴(kuò)展......）

3:49 sqrt(-1) 給出虛數(shù) i，它首先由屬性 i^2 = -1 定義。

3:57 根據(jù)我們所知，復(fù)數(shù)的加法和乘法是有效的。

4:00 i^3 是 -i，這當(dāng)然給我們 i*e^(i*pi)！

4:14 參考 3:49

4:16 歐拉公式 x = pi！ 該公式可以通過重新排列 e^x 的泰勒級(jí)數(shù)來(lái)表示。

4:20 小細(xì)節(jié)：被負(fù)號(hào)擊中會(huì)改變 TSC 的方向，這是復(fù)平面的另一個(gè)暗示！

4:22 e^(i*pi) 到 e^0 對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上沿單位圓的運(yùn)動(dòng)。

4:44 +1/-1“軍刀”互相撞擊，發(fā)出“0”火花。

4:49 -4刀擊中+1刀變?yōu)?3，以此類推。

4:53 2+2弩發(fā)射4支箭。

4:55 4 箭頭擊中除號(hào)，與 pi 對(duì)齊得到 e^(i*pi/4)，推動(dòng)它繞單位圓 pi/4 弧度。

5:06 TSC 通過乘以 i 來(lái)推動(dòng)自己，繞單位圓旋轉(zhuǎn) pi 弧度。

5:18 TSC 發(fā)現(xiàn)復(fù)平面（終于！） 5:21 虛軸； 5:28 實(shí)軸。

5:33 單位圓的最簡(jiǎn)單形式。

5:38 2*pi 弧度的圓。

5:46 弧度的定義方式——跨越長(zhǎng)度為 1 的弧的單位圓中的角度。

5:58 r*theta -- 半徑為 r 的圓中角度為 theta 的弧長(zhǎng)的公式。

6:34 對(duì)于單位圓，theta / r 就是角度。

6:38 繞圓的一半正好是 pi 弧度。

6:49 正弦和余弦函數(shù)與繞單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的關(guān)系 - sin(x) 等于 y 坐標(biāo)，cos(x) 等于 x 坐標(biāo)。

7:09 sin(x) 的旋轉(zhuǎn)可以可視化 sin(x) 和 cos(x) 之間的位移。

7:18 參考 4:16

7:28 將指數(shù)改變?yōu)?pi 的倍數(shù)，以向各個(gè)方向推動(dòng)自身。

7:34 新形態(tài)??？ e^x 的泰勒級(jí)數(shù)，其中 x=i*pi。 現(xiàn)在它有無(wú)限彈藥了?。?同樣，彈藥留下每個(gè)術(shù)語(yǔ)的十進(jìn)制擴(kuò)展作為其彈道標(biāo)記。

7:49 面積為 pi r^2、高度為 8 的圓柱體的體積。

7:53 給讀者的練習(xí)（哈哈）

8:03 參考4:20

8:25 cos(x) 和 sin(x) 用 e^(ix) 表示

8:33 不幸的是，這部分我不明白... TSC 創(chuàng)建了一個(gè)“功能”槍 f(x) = 9tan(pi*x)，因此在 e^(i*pi) 處射擊會(huì)得到 f(e^ (i*pi))= f(-1) = 0。（感謝@anerdwithaswitch9686的解釋——這是對(duì)我來(lái)說(shuō)唯一有意義的解釋；盡管仍然無(wú)法解釋箭頭，但這可能足以足夠 這個(gè)哈哈）

9:03 參考 5:06

9:38 “函數(shù)”槍，現(xiàn)在在無(wú)窮遠(yuǎn)“求值”，通過每次增加一維來(lái)擴(kuò)展實(shí)空間（這是一個(gè)向量空間），即實(shí)空間的跨度擴(kuò)展到 R^2，R^3 ， ETC。

9:48 log((1-i)/(1+i)) = -i*pi/2，乘以 2i^2 = -2 再次得到 i*pi。

9:58 通過縮短間隔并取極限來(lái)阻擋“無(wú)窮大”光束，這不是黎曼積分的精確定義，但對(duì)于這個(gè)來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠接近了哈哈

10:17 將圓平移 9i，將其沿虛軸向上移動(dòng)

10:36“位移”光束再次襲來(lái)！ 參考7:09

11:26 現(xiàn)在你正處于想象的境界。

12:16 “我怎樣才能離開這里？”

12:28 不太明白這個(gè)...說(shuō)“退出”，“t”只是一個(gè)半隱藏的 pi（感謝@user-or5yo4gz9r）

13:03 n! 分母中的 展開為 gamma 函數(shù)，這是階乘函數(shù)向非整數(shù)的常見擴(kuò)展。

13:05 將迭代器從 n 替換為 2n，更改被加數(shù)的表達(dá)式。 被加數(shù)是半徑為 1 的 n 維超球面的體積公式。（感謝 @brycethurston3569 的提醒；您的描述很接近！）

13:32 Zeta（最著名的是分析中 Zeta 函數(shù)的一部分）以及 Phi（黃金比例）和 Delta（通常用于表示分析中的小量）加入進(jìn)來(lái)

13:46 喜歡它——Aleph（最著名的是 Aleph-null 的一部分，代表最小的無(wú)窮大）在背景中若隱若現(xiàn)。

韋爾普就是這樣！ 反正在我眼里。 我錯(cuò)過了什么嗎？

第n次編輯：感謝評(píng)論區(qū)的支持！ 作為一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，能夠出于熱情寫下這篇文章絕對(duì)有幫助。 當(dāng)我完善描述時(shí)，請(qǐng)繼續(xù)提出建議！