歐幾里得124、證明“存在不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)”，遞、歸、遞歸

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2017年3月30日，網(wǎng)友發(fā)表名為《如何證明存在一種不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)？》的文章。

文章內(nèi)容：

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有人覺得奇怪了：既然當(dāng)時(shí)沒有代數(shù)，古希臘人是怎么提出“所有數(shù)都可以表示為整數(shù)之比”的呢？

…代、數(shù)、代數(shù)：見《歐幾里得36》…

…比：見《歐幾里得27》…

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其實(shí)古希臘人根本沒有提出什么整數(shù)之比，這是后人的一個(gè)誤解。當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的，叫做“公度單位”。

…公、度、公度：見《歐幾里得24》…

…單、位、單位：見《歐幾里得116》…

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兩條線段的公度單位，簡單的說就是找一個(gè)公度量，使得兩條線段的長度都是這個(gè)公度量的整倍數(shù)（于是這個(gè)公度量就可以同時(shí)作為兩條線段的單位長度并用于測量）。

…量：見《歐幾里得27》…

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尋找公度量的方法相當(dāng)直觀，就是不斷把較長的那個(gè)線段減去短的那個(gè)線段，直到兩個(gè)線段一樣長。

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熟悉數(shù)論的同學(xué)一下就明白了：這就是歐幾里得的輾（zhǎn）轉(zhuǎn)相除算法求最大公約數(shù)。

…數(shù)、論、數(shù)論，輾、轉(zhuǎn)、輾轉(zhuǎn)，算、法、算法，輾轉(zhuǎn)相除算法：見《歐幾里得119~123》…

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第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的根結(jié)就在于，古希臘人理所當(dāng)然地相信不斷地截取線段，總有一個(gè)時(shí)候會截到兩個(gè)線段一樣長。后來，Hippasus（通常譯為希帕索斯）畫了這么一張圖，告訴大家了一個(gè)反例：有可能這個(gè)操作會無窮盡地進(jìn)行下去。

…第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：見《歐幾里得15》…

…希帕索斯：見《歐幾里得17》…

現(xiàn)在看他怎么解釋“在圖中的BC和BD之間進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除為什么永遠(yuǎn)不能停止”：把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個(gè)新的小正方形DEFG，那么顯然DE=EF=FC（∵△EDF為等腰直角且△BEF≌△BCF）。

接下來我們應(yīng)該在BC和DE間輾轉(zhuǎn)相除。

BC就等于CD，CD減去一個(gè)DE相當(dāng)于減去一個(gè)FC，就只剩下一段DF了。

現(xiàn)在輪到DE和DF之間輾轉(zhuǎn)相除，而它們是一個(gè)新的正方形的邊和對角線，其比例正好與最初的BC和BD相當(dāng)。

…比、例、比例：見《歐幾里得29》…

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于是，這個(gè)操作再次回到原問題，并且無限遞歸下去。

…遞：繁體漢字見上圖。

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形聲。從辵（chuò），虒（sī）聲。本義：輪流；交替。

字義：1.傳送；傳遞：～送。投～。請把鉗（qián）子～給我。

2.順次：～增?！珳p…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關(guān)，聲旁和全字的讀音有關(guān)。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…]

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…歸：見《歐幾里得38》…

…遞歸：一種計(jì)算過程。如果其中每一步都要用到前一步或前幾步的結(jié)果，稱為遞歸。

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程序調(diào)用自身的編程技巧稱為遞歸（ recursion）。遞歸做為一種算法在程序設(shè)計(jì)語言中廣泛應(yīng)用。一個(gè)過程或函數(shù)在其定義或說明中、有“調(diào)用自身”這種方法，它通常把一個(gè)大型復(fù)雜的問題層層轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原問題相似的規(guī)模較小的問題來求解。遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過程所需要的多次重復(fù)計(jì)算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸的能力在于用有限的語句來定義對象的無限集合…

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“一說起遞歸，我想每個(gè)人都不陌生。”中學(xué)生說。

“舉個(gè)從小就聽過的例子：從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)和尚，和尚在講故事，從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)和尚，和尚在講故事，從前有座山…”中學(xué)生接著說。

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最后的結(jié)論用我們的話說就是，不存在一個(gè)數(shù)x使得BC和BD的長度都是x的整倍數(shù)。于是，BD/BC不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比p/q（否則BD/p=BC/q=x，于是就有了x，這與幾何證明得到的結(jié)論矛盾）。

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“春秋戰(zhàn)國以后，“一”字又可寫作“弌”（圖9）或“弌”（圖10），累增“弋”或“戈”旁，是一種繁化寫法。后世這種繁化寫法均被廢棄。

請看下集《歐幾里得125、格、嚴(yán)格，不、失、不失，一、般、一般，繁化寫法被廢棄》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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