• 什么是量綱

讓我們先從量綱這個(gè)概念開(kāi)始吧。

量綱是用來(lái)表示物理量的是由什么基本量構(gòu)成的。例如力的單位牛頓(N)可以寫(xiě)成：

基本量一共有七種，它們又被稱為國(guó)際單位制（SI units）分別為：

時(shí)間： 秒（s）

長(zhǎng)度： 米（m）

質(zhì)量： 千克（kg）

電流： 安培（A）

溫度： 開(kāi)爾文（k）

物質(zhì)量： 摩爾（mole）

光強(qiáng)度： 坎德拉（cd）

對(duì)于任何物理量的量綱，都可以通過(guò)其計(jì)算公式推導(dǎo)出該物理量的量綱，以密度為例：

M為質(zhì)量，以千克為單位；V為體積，以立方米為單位，所以密度的量綱就是kgm-3。就如同你在寫(xiě)下化學(xué)方程式左右的原子數(shù)要相同一樣，每個(gè)物理公式左右兩邊的量綱也應(yīng)當(dāng)是守恒的。舉個(gè)例子，下面是伯努利方程：

p為壓強(qiáng)，單位為帕斯卡（kgm-1s-2）, v為流體速度（ms-1），g為重力加速度（ms-2），h為高度（m）。

公式左右兩邊的量綱都為kgm-1s-2，這說(shuō)明至少在邏輯上這個(gè)公式大概是正確的（當(dāng)然這不代表可以只用這種方法證明自己的研究成果是正確的）。當(dāng)然還可以通過(guò)算一下等式兩邊的量綱來(lái)為自己在考試中確認(rèn)有沒(méi)有記錯(cuò)公式。雖然量綱正確不代表公式就肯定正確，因?yàn)槌?shù)是沒(méi)有量綱的，但至少寫(xiě)出來(lái)大差不差，遇見(jiàn)心善的老師還能給你幾分步驟分。

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順便提一嘴，量綱相同的物理量并不代表這兩個(gè)物理量是等價(jià)的。舉個(gè)例子，功和力矩，它們的量綱都是kgm2s-2，但這兩個(gè)物理量代表的意義并不相同。如果具體一點(diǎn)的話就是功是力這個(gè)向量與距離ds的點(diǎn)乘結(jié)果，而力矩則是這兩者的叉乘結(jié)果。標(biāo)量與向量的物理意義是不同的，但這不是這里的主題，就此略過(guò)。

• 分析量綱有什么用

  量綱分析在流體力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，引用我本科老師在歡迎頁(yè)寫(xiě)下的第一句話：“Thermofluid is an ugly world.”。流體力學(xué)不是一個(gè)清晰明了的學(xué)科，大概也沒(méi)有人會(huì)去仔細(xì)對(duì)流體中的每一個(gè)分子去做詳細(xì)的受力分析以計(jì)算流體的運(yùn)動(dòng)，因此對(duì)流體的分析基本都是基于一些標(biāo)志性的物理量來(lái)對(duì)流體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行推測(cè)。而這門(mén)混亂的學(xué)科中的混亂的理論使得許多結(jié)論并不能簡(jiǎn)單得通過(guò)計(jì)算得出，這便讓實(shí)驗(yàn)在這門(mén)學(xué)科中有了極高的地位。對(duì)于實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，當(dāng)然是效率越高成本越少是最好的。設(shè)想一下，你在建造一種新型的飛機(jī)，你為它設(shè)計(jì)了一種新的機(jī)翼構(gòu)型，為了對(duì)你的設(shè)計(jì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，難道要花重金去將這個(gè)設(shè)計(jì)造出來(lái)裝到飛機(jī)上去進(jìn)行測(cè)試嗎?？赡苣阖?cái)力雄厚愿意進(jìn)行這種風(fēng)險(xiǎn)投資，但是飛行員恐怕不太敢把自己的安全堵在你的專業(yè)上。如果實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示出還有巨大的改進(jìn)空間，你還需要再重新制造一個(gè)新的機(jī)翼，再去找愿意冒險(xiǎn)的飛行員。這個(gè)過(guò)程多少有些得不償失了。在現(xiàn)實(shí)中，一般使用等比例縮小的模型來(lái)進(jìn)行這種實(shí)驗(yàn)，而這就有了很重要的問(wèn)題，因?yàn)榱黧w力學(xué)并不是一個(gè)線性的世界，這么說(shuō)可能不太直觀，舉個(gè)例子：

????相信大家都知道歐姆定理，既通過(guò)導(dǎo)體的電流等于其兩端的電勢(shì)差除以導(dǎo)體本身的電阻。如果想讓通過(guò)導(dǎo)體的電流變成原來(lái)的兩倍，只需要將導(dǎo)體兩端的電勢(shì)差增加一倍就好了。

????但流體力學(xué)中的大部分關(guān)系不是這樣的。

????拿歐姆定理舉個(gè)例子：

在這個(gè)關(guān)系表達(dá)式中，在明確R1和R2的關(guān)系之后，I1和I2的關(guān)系就十分易得了。

但在流體力學(xué)中大部分問(wèn)題都沒(méi)有這么簡(jiǎn)單，其中許多的因變量和自變量之間的比例關(guān)系就是個(gè)盲盒，你甚至列不出一個(gè)求你發(fā)明的新創(chuàng)造物的某項(xiàng)特征的式子，只能使用邏輯推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得你想要的數(shù)值。

????回到我們的機(jī)翼問(wèn)題，如果機(jī)翼模型的長(zhǎng)度縮小了n倍，那其他參數(shù)需要縮小幾倍才能讓我得出一個(gè)可用的結(jié)果呢？

• 量綱分析

  前文提到了相似性，相似在流體力學(xué)中指：對(duì)于等比例模型來(lái)說(shuō)，形狀要相似，流體要相似，流體對(duì)模型施加的力要相似。形狀相似很好理解，而剩下兩個(gè)就需要解釋一下了。

  機(jī)翼這個(gè)問(wèn)題有些具體，涉及到很多流體力學(xué)的背景知識(shí)，大家感興趣的話我們?cè)偌?xì)聊。機(jī)翼的設(shè)計(jì)中正好就可以找到這剩下的兩個(gè)相似，既流體本身流動(dòng)的性質(zhì)與流體對(duì)機(jī)翼的阻力。影響阻力大小的有流體的密度、流體的黏性、流體流過(guò)機(jī)翼的速度，和機(jī)翼的特征長(zhǎng)度。這時(shí)便可以認(rèn)為機(jī)翼受到的阻力是由密度、黏度、速度、長(zhǎng)度這四個(gè)自變量組成的函數(shù)，既：

????這里要引入一個(gè)理論，白金漢理論，相信大家對(duì)原理不感興趣，接下來(lái)將直接演示如何使用這個(gè)理論進(jìn)行量綱分析：

?????

????第一步，把等式左右的量綱都列出來(lái)。

????阻力的單位是牛頓，牛頓的量綱是 kgms-2，密度的量綱是kgm-3，黏度的量綱是m2s-1（黏度分為絕對(duì)黏度和動(dòng)態(tài)黏度，分別以μ和υ來(lái)表示，這里用的是動(dòng)態(tài)黏度的量綱），速度的量綱是ms-1長(zhǎng)度的量綱是m。

????在這個(gè)等式中一共有五個(gè)變量和三個(gè)基本量（千克，米和秒），那么便需要五減三，既兩個(gè)無(wú)量綱數(shù)來(lái)形成相似的線性比例關(guān)系。

????這里又出現(xiàn)了一個(gè)新概念，無(wú)量綱數(shù)。望文生義便可知這個(gè)數(shù)不具有量綱這個(gè)物理意義，相反當(dāng)兩個(gè)物理模型具有相同的無(wú)量綱數(shù)的時(shí)候，才可以確保這兩個(gè)模型有比例關(guān)系。

????如何使用這些變量來(lái)湊出無(wú)量綱數(shù)呢。

?????

????第二步，組成派。

????因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系中只有三個(gè)基本量，那么首先就要挑出三個(gè)基本量最簡(jiǎn)單的自變量，對(duì)這三個(gè)自變量的要求是這三個(gè)自變量需要包含等式中所有的基本量，既米，千克和秒。在這里就是長(zhǎng)度，密度，和速度。這時(shí)候還剩下了兩個(gè)變量，既阻力和黏度，使用三個(gè)自變量分別與剩下的兩個(gè)變量乘在一起以組成兩個(gè)派：

第二個(gè)派：

既然兩個(gè)派都是無(wú)量綱數(shù)，那么就需要計(jì)算出可以讓前三個(gè)變量的量綱和最后一個(gè)變量的量綱互相抵消的abc的數(shù)值。

?

這就來(lái)到了第三步，烤派。

現(xiàn)在就可以將其列成方程組，對(duì)于第一個(gè)派來(lái)說(shuō)：

或者寫(xiě)成：

易得[指使用魔棒（Matlab）念咒語(yǔ)（輸入[1 0 0;-3 1 1;0 -2 0]\[0;-2;1]）,當(dāng)然這個(gè)程度口算也是可以的]：

第一個(gè)派就是：

對(duì)第二個(gè)派來(lái)說(shuō)只需要照貓畫(huà)虎：

或者寫(xiě)成：

易得：

第二個(gè)派就是：

現(xiàn)在烤好了兩個(gè)派，那么這個(gè)派要怎么用呢。

白金漢理論表示當(dāng)兩個(gè)派的數(shù)值相同的時(shí)候，組成派的量綱便成了比例關(guān)系。舉個(gè)例子，如果要研究這個(gè)飛機(jī)在木星上飛行時(shí)機(jī)翼受到的阻力，就可以使用這兩個(gè)烤好的派。在這里使用1：20的等比例縮小模型。

木星大氣主要由二氧化硫組成，二氧化硫的黏度是4.87e-6,空氣的黏度1.48e-5米方每秒,這時(shí)候聯(lián)立兩個(gè)派就可以得到模型相對(duì)空氣的速度，也就是風(fēng)洞里空氣的流速：

那么速度比值就是：

所以對(duì)于在風(fēng)洞里的模型來(lái)說(shuō)，風(fēng)速需要達(dá)到在木星上的飛機(jī)的60.8倍才能彌補(bǔ)黏度與長(zhǎng)度帶來(lái)的影響。

在得到速度關(guān)系之后，將這對(duì)比例帶入第二個(gè)派，就可以得到模型與實(shí)際的阻力比，空氣的密度為1.29千克每立方米，二氧化硫的密度為2.63千克每立方米（其實(shí)這里并不嚴(yán)謹(jǐn)，這個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)該是在常溫常壓下的密度，木星的溫度與氣壓都與地球不同），阻力關(guān)系就可以表達(dá)為：

這個(gè)數(shù)字代表風(fēng)洞中的模型受到的阻力是實(shí)際在木星上飛行器的0.22倍。

整點(diǎn)小例題

1.??????? 眾所周知，功率等于電壓乘以電流，功率的單位為焦耳每秒（焦耳的基本單位可由力乘距離得到，而力的單位則可由質(zhì)量乘加速度得到），電流的單位為安培，試用基本SI units表示電壓。

2.??????? 現(xiàn)有一個(gè)三比一的水泵模型具有以下參數(shù)：

-轉(zhuǎn)速 900轉(zhuǎn)每分鐘（量綱可以看作s-1）

-泵直徑 125毫米

-泵壓 三米水柱

-水流速度 一立方米每秒

-功率 一百瓦

已知密度也與相似性有關(guān)，請(qǐng)求出真實(shí)水泵在300轉(zhuǎn)每分鐘時(shí)的水流量和功率。