在游戲編程或者傳統(tǒng)三維軟件中，點(diǎn)和矢量是特別容易混淆的，因?yàn)樗鼈兊谋硎痉椒ǘ家粯印１热缫粋€點(diǎn)P，它的坐標(biāo)表示為P=(x,y,z)，但是矢量的表示方法也是如此，那它們到底有什么區(qū)別呢？

點(diǎn)表示的是空間中的一個位置，它沒有方向、大小、長度這類的概念。

而矢量是一段包含了長度（又叫做模）和方向的有向線段，它也經(jīng)常被稱為向量。我們常說的速度，就是一種典型的矢量。

與矢量形成對比的，叫做標(biāo)量。標(biāo)量是一種只有長度、沒有方向的數(shù)學(xué)概念。生活中常提到的距離，它其實(shí)就是一種標(biāo)量。

在這里，我們主要了解矢量，因?yàn)樗灤┯谟螒蚓幊痰氖冀K。對于矢量來說，只有它的模和方向保持不變，無論放在任何位置，都是同一個矢量。比如說下面的矢量a 和 矢量b，盡管它們在坐標(biāo)系中的位置不同，但是它們的模和方向都是相同的，因此，它們是同一個矢量。矢量通常被用于表示相對于某個點(diǎn)的偏移。

矢量可以和矢量做運(yùn)算，也可以和標(biāo)量做運(yùn)算。

矢量和標(biāo)量的乘/除法

矢量和標(biāo)量的運(yùn)算比較簡單，它們之間只能做乘除法，不能做加減法。矢量和標(biāo)量相乘，只需要矢量的每個分量和標(biāo)量相乘即可，而矢量除以標(biāo)量，相當(dāng)于乘以標(biāo)量的倒數(shù)。

從幾何意義來看，矢量乘以一個正標(biāo)量k，相當(dāng)于將矢量擴(kuò)大了k倍，方向不變；而乘以一個負(fù)標(biāo)量，矢量不僅擴(kuò)大了|k|倍，方向也會取反。

矢量的加/減法

兩個矢量相加減，只需要將每個矢量的對應(yīng)分量相加減即可，最后的結(jié)果是得到一個新矢量。

矢量的加減法，它表達(dá)的是偏移的幾何意義。

以加法為例，矢量a + 矢量b，它表示的是：一個點(diǎn)，從a的起始位置出發(fā)，便偏移了a，接著又偏移了b，就等同于進(jìn)行了一個a+b的位移。這里的矢量a、b，它們的首尾是相連的。

如果a、b首尾不相連，就變成了減法，a-b，表示的是a相對于b的偏移。

矢量的點(diǎn)積

矢量之間也可以進(jìn)行乘法，通常有兩種類型：點(diǎn)積和叉積。先來說說點(diǎn)積。

矢量的點(diǎn)積有兩種公式，第一種是矢量之間對應(yīng)分量的乘積之和，也就是：

從公式可以看出，點(diǎn)積是滿足乘法交換律的，也就是a*b = b*a。

點(diǎn)積可以用來判斷兩個矢量之間的方向夾角關(guān)系。

如果 a * b > 0,說明a和b是銳角關(guān)系；

如果 a * b = 0,說明a和b是直角關(guān)系；

如果 a * b < 0,說明a和b是鈍角關(guān)系；

在游戲編程中，也通常使用點(diǎn)積來計算投影，這和求矢量方向夾角是同一個道理。

另外，點(diǎn)積可以和標(biāo)量進(jìn)行乘法運(yùn)算，并且符合乘法的結(jié)合律。

點(diǎn)積還可以結(jié)合矢量加法做運(yùn)算，相當(dāng)于求點(diǎn)積之和。

一個矢量和本身進(jìn)行點(diǎn)積，結(jié)果是這個矢量模的平方。

這里有說到矢量的模，它的求法等于矢量各分量的平方和開根號，即：

另外，模為1的矢量，被稱為單位矢量，也叫做歸一化矢量。

矢量的第二種公式是：

矢量的叉積

矢量的另一種乘法運(yùn)算叫做叉積，和點(diǎn)積不同的是，叉積的結(jié)果仍然是一個矢量，而非標(biāo)量。

兩個矢量的叉積用a X b來表示，這個x號不同于數(shù)學(xué)的乘號，這點(diǎn)不要混淆。叉積計算也有兩種公式，第一種是：

叉積不滿足交換律，即 a X b ≠ b X a，但它滿足反交換律，即a X b = -( b X a)

叉積也不滿足結(jié)合律，即 (a X b) X c ≠ a X (b X c)

從幾何意義來講，兩個矢量叉積的結(jié)果，會得到一個同時垂直于這兩個矢量的新矢量，這個新矢量的模很好計算，既可以通過模公式來得到，也可以通過矢量a、b以及他們之間的夾角θ來得到

對于新矢量的方向，它可能存在兩個完全相反的方向，要確定具體哪個方向，就要看使用的左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系。

要求a X b 新矢量的方向，如果是左手坐標(biāo)系，伸直左手拇指微握其他四指，指背與矢量a方向垂直，四指彎曲方向朝矢量b靠攏，這是拇指指向的方向，就是新矢量的方向。

同樣地，如果是右手坐標(biāo)系，則伸出右手按照同樣的法則來判斷方向。

叉積在游戲編程中，經(jīng)常用于計算垂直于一個平面、三角形的矢量。另外，還可以用于判斷三角面片的朝向。