2022年7月5日，國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）公布了新一屆素有“數(shù)學(xué)諾貝爾”之稱的菲爾茲獎(jiǎng)。頒獎(jiǎng)儀式在位于赫爾辛基的阿爾托大學(xué)(Aalto University)線下舉行。法國(guó)數(shù)學(xué)家雨果·迪米尼-科潘（Hugo Duminil-Copin，36歲）、美籍韓裔數(shù)學(xué)家許埈珥（June Huh，39歲）、英國(guó)數(shù)學(xué)家詹姆斯·梅納德（James Maynard，35歲）和烏克蘭數(shù)學(xué)家馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska，37歲）獲此殊榮。

其中，維亞佐夫斯卡是該獎(jiǎng)歷史上第二位女性得主，也是烏克蘭首位獲得該獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家，獲獎(jiǎng)理由是“表彰其利用E8格證明了8維空間中的等體球體最密堆積問(wèn)題，以及對(duì)相關(guān)極值問(wèn)題和傅里葉分析中插值問(wèn)題的進(jìn)一步貢獻(xiàn)?！北疚闹v述了其非凡驚人的工作。

7月3日，《返樸》曾刊發(fā)加州理工學(xué)院倪憶教授的文章《2022年菲爾茲獎(jiǎng)，呼之欲出？》，該文預(yù)測(cè)到了新晉四位得主中的三人，對(duì)他們的成就都有簡(jiǎn)要介紹，也提到了有著傳奇經(jīng)歷的許埈珥，他的故事可詳見(jiàn)今日微信二條。

撰文?|?埃莉卡·克拉賴希（Erica Klarreich）翻譯?|?張旭成

馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska），37歲。
在2016年在線發(fā)布的兩篇論文中，一位烏克蘭數(shù)學(xué)家解決了有數(shù)百年歷史的“球堆積”問(wèn)題的兩個(gè)高維版本。她證明，在8維和24維（后一情形與其他研究人員合作完成）的情形下，兩種高度對(duì)稱的排列能夠以盡可能最密集的方式將球體堆積在一起。
數(shù)學(xué)家最晚從1611年就開(kāi)始研究球堆積了。當(dāng)時(shí)，約翰內(nèi)斯·開(kāi)普勒推測(cè)（Johannes Kepler），在空間中把相同大小的球體堆在一起的最密集的方式，就是雜貨店里常見(jiàn)的用來(lái)擺放橙子的金字塔形。盡管這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)簡(jiǎn)單，但它直到1998年才得以解決——托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）以250頁(yè)的數(shù)學(xué)論證結(jié)合龐大的計(jì)算機(jī)計(jì)算，最終證明了開(kāi)普勒的猜想。[1]
高維的球堆積很難想象，但非常實(shí)用：球體密堆積與手機(jī)、空間探測(cè)器和互聯(lián)網(wǎng)通過(guò)噪聲信道發(fā)送信號(hào)時(shí)使用的糾錯(cuò)碼密切相關(guān)。高維球體很容易定義——它只是高維空間中與給定的中心點(diǎn)有固定距離的點(diǎn)的集合。
在高維空間中尋找相同大小球體的最密堆積應(yīng)該比黑爾斯解決的三維情形更復(fù)雜，因?yàn)槊吭黾右粋€(gè)維度就意味著有更多可能的堆積方式要考慮。然而數(shù)學(xué)家們?cè)缇椭烙袃蓚€(gè)維數(shù)是特殊的：8維和24維，這兩個(gè)維數(shù)中分別存在著被稱為E8?和利奇格（Leech lattice）的對(duì)稱球堆積， 這兩種令人眼花繚亂的球堆積要好于在其他維數(shù)上已知的最密球堆積的候選者。
“不知怎么的，一切都剛好完美地融合在了一起，這簡(jiǎn)直是個(gè)奇跡?！瘪R薩諸塞州劍橋市微軟新英格蘭研究院的數(shù)學(xué)家亨利·科恩（Henry Cohn）說(shuō)，“我想不出一個(gè)簡(jiǎn)單且直觀的方法來(lái)解釋它是什么。”
出于數(shù)學(xué)家們尚未完全理解的一些原因，E8?和利奇格與包括數(shù)論、組合和雙曲幾何在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)學(xué)科有關(guān)，甚至與弦論等物理領(lǐng)域也有關(guān)?？贫髡f(shuō)，它們形成了“一種紐帶，讓許多不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域相交匯”。
“這其中發(fā)生了一些奇妙的事情，我想知道它是什么?！?/span>
數(shù)學(xué)家們已經(jīng)積累了令人信服的數(shù)值證據(jù)，表明 E8?和利奇格分別是各自維度上的最密堆積。但這些證據(jù)還不足以形成嚴(yán)格的證明。早在十多年前，研究人員就知道證明中缺少的應(yīng)該是一個(gè)“輔助”函數(shù)，它可以計(jì)算最大容許的球體密度，但他們尚未找到這個(gè)正確的函數(shù)。
2016年3月14日，馬林娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在線發(fā)布了一篇論文，給出了8維情形缺少的函數(shù)。[2]她的工作使用了模形式的理論，模形式是一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)函數(shù)，當(dāng)它被應(yīng)用于某個(gè)問(wèn)題時(shí)， 似乎可以解鎖大量的信息。在8維情形下，當(dāng)時(shí)還是柏林?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)院和柏林洪堡大學(xué)博士后研究員的維亞佐夫斯卡找到正確的模形式，只用23頁(yè)紙就證明了 E8?是最密的8維堆積。
普林斯頓大學(xué)和高等研究院的彼得·薩爾納克（Peter Sarnak）說(shuō)：“就像所有偉大的事情一樣，這個(gè)證明非常簡(jiǎn)單。剛開(kāi)始讀論文時(shí)，你就知道它是對(duì)的?！?/span>
一周之內(nèi)，維亞佐夫斯卡、科恩和其他三位數(shù)學(xué)家成功地將她的方法推廣到了利奇格?！拔蚁胛覀冎幸恍┤艘呀?jīng)對(duì)此期待了很長(zhǎng)時(shí)間?！焙跔査拐f(shuō)。

圖片來(lái)源：Daniil Yevtushynsky

填充空隙
我們可以在每個(gè)維數(shù)構(gòu)造一個(gè)類似于金字塔狀的橙子堆，但隨著維數(shù)增加，高維橙子之間的空隙也會(huì)增大。到8 維時(shí)，這些空隙已經(jīng)大到足以容納新的橙子，并且只有在8維情況下，新添加的橙子才被緊緊固定在空隙中。由此產(chǎn)生的8維球堆積就是E8，雖然它是通過(guò)兩步構(gòu)造出來(lái)的，但它的結(jié)構(gòu)比預(yù)想的要均勻得多。“一部分神秘之處在于，這個(gè)對(duì)象比聽(tīng)上去要漂亮和對(duì)稱得多?！笨贫髡f(shuō)，“它有很多額外的對(duì)稱性?！?/span>
類似地，利奇格也是通過(guò)在密度較低的堆積中添加球體來(lái)構(gòu)建的， 這一點(diǎn)幾乎是在事后才被發(fā)現(xiàn)的。20世紀(jì)60年代，英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·利奇（John Leech）研究了一種24維堆積，它可以通過(guò)“戈萊碼”（Golay?code）構(gòu)造。戈萊碼是一種糾錯(cuò)碼，后來(lái)被用于傳輸旅行者號(hào)探測(cè)器拍攝到的有歷史意義的木星和土星照片。在利奇關(guān)于這種堆積的文章發(fā)表后不久，他注意到，這種堆積所產(chǎn)生的空隙有足夠的空間，可以放入更多的球，并且這樣做會(huì)使堆積的密度增加一倍。[3]
利奇格由此產(chǎn)生。在利奇格中，每個(gè)球體都被其他196 560個(gè)球體包圍。普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家約翰·康威（John Conway）通過(guò)探測(cè)格的結(jié)構(gòu)，在這種獨(dú)特的排列中發(fā)現(xiàn)了三種全新的對(duì)稱類型。[4]耶路撒冷希伯來(lái)大學(xué)的數(shù)學(xué)家吉爾·卡拉伊（Gil Kalai）說(shuō)，利奇格是“少數(shù)幾個(gè)最令人興奮的數(shù)學(xué)對(duì)象之一”。
2003 年，科恩和哈佛大學(xué)的諾姆·埃爾基斯（Noam Elkies）發(fā)明了一種方法，來(lái)比較 E8?和利奇格在各自維數(shù)上與其他球堆積方式的表現(xiàn)。[5]科恩和埃爾基斯的工作表明，在每個(gè)維數(shù)中都存在一個(gè)無(wú)窮的“輔助” 函數(shù)序列，它可以用來(lái)計(jì)算該維數(shù)中容許的球體堆積密度的上限。
在大多數(shù)維數(shù)中，迄今為止發(fā)現(xiàn)的最密球堆積甚至無(wú)法接近這種方法產(chǎn)生的密度極限。但科恩和埃爾基斯發(fā)現(xiàn)，在8維和24維中，最密堆積—— E8?和利奇格——好像幾乎撞到了上限的天花板?？贫骱褪髮W(xué)的阿比納夫·庫(kù)馬爾（Abhinav Kumar）對(duì)輔助函數(shù)序列進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，在8維和24維中，可能的最密堆積的密度比 E8?和利奇格高至多0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 1%。[6]
鑒于這種非常接近的估計(jì)，似乎很明顯 E8?和利奇格一定是各自維數(shù)中的最密堆積?？贫骱桶柣共聹y(cè)，對(duì)于這兩個(gè)維數(shù)中的每一個(gè)，都應(yīng)該有一些輔助函數(shù)來(lái)給出與 E8?和利奇格的密度相匹配的精確答案。埃爾基斯在一封郵件中寫道：“我們做了很多次報(bào)告，甚至召開(kāi)了一兩次會(huì)議來(lái)宣傳這個(gè)問(wèn)題，希望這樣一個(gè)（函數(shù)）是已知的，或者只要我們知道了它在哪個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域就能很容易找到它，但一無(wú)所獲。”
黑爾斯說(shuō)，多年來(lái)他一直認(rèn)為正確的函數(shù)應(yīng)該存在，但不知道如何找到它。“我覺(jué)得我們可能需要拉馬努金轉(zhuǎn)世才能找到它?！彼f(shuō)。拉馬努金指的是20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan），他以似乎能憑空找到深刻的數(shù)學(xué)思想而聞名。
后來(lái)，維亞佐夫斯卡使用了拉馬努金也廣泛研究過(guò)的一種數(shù)學(xué)對(duì)象：模形式（Modular forms），發(fā)現(xiàn)了 E8?和利奇格難以捉摸的輔助函數(shù)。黑爾斯說(shuō)：“她拉來(lái)了一個(gè)拉馬努金?！?/span>

開(kāi)采黃金
模形式是具有特殊對(duì)稱性的函數(shù)，就像埃舍爾的版畫中天使和魔鬼的圓形鑲嵌圖案一樣。這些函數(shù)具有啟發(fā)不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的驚人能力——例如，它們?cè)?994年費(fèi)馬大定理的證明中就發(fā)揮了重要作用。盡管模形式已經(jīng)被研究了幾個(gè)世紀(jì)，但數(shù)學(xué)家們?nèi)栽诮议_(kāi)隱藏在其系數(shù)中的深層秘密。薩爾納克稱模形式為金礦?！拔业戎程煊腥藢懸黄}為‘模形式不合理的有效性’的文章?！彼f(shuō)。

托馬斯·黑爾斯(Thomas Hales)于1998年用計(jì)算機(jī)證明了一個(gè)著名的猜想，即如何用最密集的方式堆疊球體。丨圖片來(lái)源：Michigan Photography

然而不幸的是，模形式的數(shù)量十分有限，并且它們是高度受約束的對(duì)象?！澳悴荒苤粚懴乱粋€(gè)模形式，就讓它做你需要的任何事?！笨贫髡f(shuō)，“所以問(wèn)題在于，是否真的存在一個(gè)模形式能做你需要它做的事。”
維亞佐夫斯卡2013年的博士論文是關(guān)于模形式的，而且她在離散優(yōu)化方面也有專長(zhǎng)。離散優(yōu)化是球堆積問(wèn)題的核心領(lǐng)域之一。因此，5年前，當(dāng)維亞佐夫斯卡的朋友、挪威科技大學(xué)的安德里·邦達(dá)連科（Andrii Bondarenko）建議他們一起研究8維球堆積問(wèn)題時(shí)，維亞佐夫斯卡同意了。
他們與德國(guó)馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)所的達(dá)尼洛·拉琴科（Danylo?Radchenko）一起斷斷續(xù)續(xù)地研究這個(gè)問(wèn)題。最終，邦達(dá)連科和拉琴科轉(zhuǎn)向了其他問(wèn)題，但維亞佐夫斯卡仍繼續(xù)獨(dú)自持燈前行。她說(shuō)：“我覺(jué)得這是屬于我的問(wèn)題?！?/span>
經(jīng)過(guò)兩年的努力，維亞佐夫斯卡成功為 E8?找到了正確的輔助函數(shù)， 并證明它是正確的。維亞佐夫斯卡表示，她很難解釋自己是如何知道該使用哪種模形式的，她目前正在寫一篇文章，試圖描述引領(lǐng)自己找到模形式的“哲學(xué)原因”。她說(shuō)：“這背后有一個(gè)全新的數(shù)學(xué)故事。”
2016 年3 月14 日，維亞佐夫斯卡發(fā)表了她的論文。之后，她被這篇論文在球堆積研究人員中引發(fā)的興奮情緒所震驚。“我認(rèn)為人們會(huì)對(duì)這個(gè)結(jié)果感興趣，但我不知道會(huì)有這么多關(guān)注?！本S亞佐夫斯卡說(shuō)。
那天晚上，科恩發(fā)郵件向她表示祝賀，在兩人郵件交流時(shí)，他問(wèn)維亞佐夫斯卡是否有可能將自己的方法推廣到利奇格?！拔耶?dāng)時(shí)覺(jué)得，‘我已經(jīng)累了，應(yīng)該休息一下?！本S亞佐夫斯卡說(shuō)，“但我還是想試著發(fā)揮作用。”
他們兩人開(kāi)始與庫(kù)馬爾、拉琴科以及羅格斯大學(xué)的斯蒂芬·米勒（Stephen Miller）合作。得益于維亞佐夫斯卡早期的研究成果，他們很快為利奇格找到了一種構(gòu)造正確輔助函數(shù)的方法。在維亞佐夫斯卡發(fā)布她第一篇論文后僅一周，該團(tuán)隊(duì)就在網(wǎng)上發(fā)布了一篇12頁(yè)的論文。[7]
這些結(jié)果對(duì)糾錯(cuò)碼沒(méi)有任何實(shí)際意義，因?yàn)橐阎?E8?和利奇格接近完美就足以滿足所有現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用。但這兩個(gè)證明卻給數(shù)學(xué)家們提供了一種完結(jié)感和一個(gè)強(qiáng)大的新工具。科恩說(shuō)，接下來(lái)一個(gè)自然的問(wèn)題是， 這些方法是否可以用來(lái)證明 E8?和利奇格具有“泛最優(yōu)性”。這意味著它們不僅提供了最密堆積，而且如果將這些球體的中心視為互斥的電子的話，它還提供了能量最低的堆積。
斯坦福大學(xué)的阿克沙伊·文卡特什（Akshay Venkatesh）表示，由于?E8?和利奇格與數(shù)學(xué)和物理學(xué)的許多領(lǐng)域有關(guān)，維亞佐夫斯卡的方法最終很可能帶來(lái)更多的發(fā)現(xiàn)?！霸谖铱磥?lái)，這個(gè)函數(shù)很可能也是某個(gè)更豐富的故事的一部分?！?/span>

參考文獻(xiàn)

[1]?https://doi.org/10.4007/annals.2005.162.1065

[2]?https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7[3]?https://doi.org/10.4153/CJM-1964-065-1[4]?https://doi.org/10.1112/blms/1.1.79[5]?https://doi.org/10.4007/annals.2003.157.689[6]?https://doi.org/10.4007/annals.2009.170.1003[7]?https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8
本文經(jīng)授權(quán)摘自《素?cái)?shù)的陰謀》（中信出版社·鸚鵡螺，2020.2），原標(biāo)題為《數(shù)學(xué)家攻克高維版本的球堆積問(wèn)題》。